Resolva as equações diferenciais abaixo.
Resolva o PVI: y^{\prime}+(\cos x) y=2 x e^{-\sin x}, \operatorname{com} y(\pi)=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O problema fornece a equação diferencial com condição inicial:
y'(x)+(\cos x)\,y(x)=2x\,e^{-\sin x}, \qquad y(\pi)=0.
O que o enunciado pede é encontrar a função y(x) que satisfaça essa equação diferencial para x e que, além disso, verifique a condição inicial y(\pi)=0.

Passo 2

Observando a equação, nota-se que ela tem a forma
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x),
com P(x)=\cos x e Q(x)=2x\,e^{-\sin x}. Uma técnica padrão para esse tipo de equação é multiplicar por um fator integrante \mu(x) de forma que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)\,y(x). Vou explicar como obter esse fator integrante.
A ideia: escolher \mu(x) tal que
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\,y'(x)+\mu'(x)\,y(x).
Queremos que isso seja igual a \mu(x)\big(y'(x)+P(x)\,y(x)\big). Logo precisamos de
\mu'(x)=\mu(x)\,P(x).
Essa é uma equação separável para \mu. Resolvendo-a temos
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x) \quad\Rightarrow\quad \ln\mu(x)=\int P(x)\,dx + C.
Convenientemente podemos tomar a constante integrada igual a zero (qualquer constante multiplicativa cancela depois), então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso com P(x)=\cos x, calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \cos x\,dx\Big)=\exp\!\big(\sin x\big)=e^{\sin x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{\sin x}. Obtemos
e^{\sin x}y'(x)+e^{\sin x}\cos x\,y(x)=e^{\sin x}\cdot 2x\,e^{-\sin x}.
Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada de e^{\sin x}y(x), portanto
\frac{d}{dx}\big(e^{\sin x}y(x)\big)=2x.
Observe que no lado direito simplificou e^{\sin x}\cdot e^{-\sin x}=1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{\sin x}y(x)\big)\,dx=\int 2x\,dx.
Isso dá
e^{\sin x}y(x)=x^{2}+C,
onde C é uma constante de integração.

Passo 6

Isolando y(x) obtemos a solução geral:
y(x)=e^{-\sin x}\big(x^{2}+C\big).
Aqui e^{-\sin x} é a função que “desfaz” o fator integrante e^{\sin x}.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(\pi)=0. Substituindo x=\pi e lembrando que \sin\pi=0, temos
y(\pi)=e^{-\sin\pi}\big(\pi^{2}+C\big)=1\cdot\big(\pi^{2}+C\big)=0.
Logo
\pi^{2}+C=0\quad\Rightarrow\quad C=-\pi^{2}.

Passo 8

Substituindo C=-\pi^{2} na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial:
y(x)=e^{-\sin x}\big(x^{2}-\pi^{2}\big).

Passo 9

(verificação rápida) Para checar rapidamente, deriva-se y(x)=e^{-\sin x}(x^{2}-\pi^{2}) usando regra do produto e a derivada de e^{-\sin x}; faz-se y'+\cos x\,y e obtém-se 2x\,e^{-\sin x}, que coincide com o lado direito da equação original — portanto a solução está correta. Força aí, você já domina essa técnica de fator integrante!

Resposta

y(x)=e^{-\sin x}\big(x^{2}-\pi^{2}\big)

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