Resolva as equações diferenciais abaixo.
Resolva o PVI:
.
Resolva o PVI:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O problema fornece a equação diferencial com condição inicial:
O que o enunciado pede é encontrar a função
que satisfaça essa equação diferencial para
e que, além disso, verifique a condição inicial
.
Passo 2
Observando a equação, nota-se que ela tem a forma
com
e
. Uma técnica padrão para esse tipo de equação é multiplicar por um fator integrante
de forma que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Vou explicar como obter esse fator integrante.
A ideia: escolher
tal que
Queremos que isso seja igual a
. Logo precisamos de
Essa é uma equação separável para
. Resolvendo-a temos
Convenientemente podemos tomar a constante integrada igual a zero (qualquer constante multiplicativa cancela depois), então
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso com
, calculamos o fator integrante:
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos
Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada de
, portanto
Observe que no lado direito simplificou
.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Isolando
obtemos a solução geral:
Aqui
é a função que “desfaz” o fator integrante
.
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e lembrando que
, temos
Logo
Passo 8
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial:
Passo 9
(verificação rápida) Para checar rapidamente, deriva-se
usando regra do produto e a derivada de
; faz-se
e obtém-se
, que coincide com o lado direito da equação original — portanto a solução está correta. Força aí, você já domina essa técnica de fator integrante!