Uma criança brincando com seu brinquedo que dispara uma pequena bolinha atira essa bolinha formando um ângulo theta com a horizontal. A bolinha atinge uma altura máxima H= 2.67 m , logo começa declinar na altura atinge uma parede e cai na superfície horizontal verticalmente abaixo do ponto de máxima altura H . Assumindo uma colisão perfeitamente elástica, calcule a altura h do ponto da parede vertical em que a bola colide.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma criança que lança uma bolinha usando um brinquedo que dispara a bolinha formando um ângulo theta com a horizontal. A bolinha atinge uma altura máxima H = 2.67 , m e depois começa a descer. Durante a descida, ela colide com uma parede e, após a colisão perfeitamente elástica, cai verticalmente de volta ao ponto abaixo da altura máxima H. Nosso objetivo é calcular a altura h onde a bolinha colide com a parede.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos de cinemática (o estudo do movimento) e colisões elásticas na física. Vamos resolver passo a passo para garantir que tudo fique claro!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento da bolinha até atingir a altura máxima H. Quando a bolinha é lançada, ela sobe até a altura máxima onde a velocidade vertical se torna zero. A altura máxima H está relacionada à velocidade inicial da bolinha.
Sabemos que a altura máxima em um movimento vertical é dada pela fórmula:
H = v0y^22g
onde:
  • v0y é a componente vertical da velocidade inicial,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81 , m/s^2).
Como H = 2,67 , m, podemos rearranjar a fórmula para encontrar v0y:
v0y = raiz2gH

Passo 3

Calculando v0y:
v0y = raiz2 times 9,81 , m/s^2 times 2,67 , m approx raiz52,4074 approx 7,24 , m/s
Então, a componente vertical da velocidade inicial é aproximadamente 7,24 , m/s.

Passo 4

Agora, vamos considerar o ponto onde a bolinha colide com a parede durante a descida. Nesse ponto, a altura é h, e a bolinha está descendo com uma certa velocidade vertical vy.
Utilizando a equação da velocidade no movimento vertical:
vy = raiz2g(H - h)
porque a bolinha caiu uma altura (H - h) desde o ponto mais alto.

Passo 5

Após a colisão perfeitamente elástica, a velocidade vertical da bolinha será invertida, mantendo o mesmo módulo. Ou seja, a bolinha começará a subir com a velocidade vy = raiz2g(H - h).
Ela então alcançará novamente a altura máxima H. Isso acontece porque a bolinha subirá até a altura igual à altura máxima original, já que a energia foi conservada na colisão.

Passo 6

No trajeto de volta após a colisão, a bolinha atinge novamente a altura H e começa a descer. A distância que ela percorre desde o novo ponto de colisão até a altura H deve ser a mesma que a distância da descida anterior, ou seja, (H - h).
Como o tempo de subida e descida é o mesmo para a mesma distância, podemos estabelecer que o tempo de descida até a parede é igual ao tempo de subida após a colisão.

Passo 7

O tempo para a bolinha descer de H até h é dado por:
tdescida = raiz2(H - h)g
O tempo para a bolinha subir de h até H após a colisão é o mesmo:
tsubida = raiz2(H - h)g

Passo 8

O tempo total desde o lançamento até a bolinha chegar novamente a H é o dobro desse tempo:
ttotal = 2 raiz2(H - h)g
Esse tempo também corresponde ao tempo que a bolinha leva para subir até a altura máxima H inicialmente, que é:
tsubida total = v0yg = 7,24 , m/s9,81 , m/s^2 approx 0,739 , s

Passo 9

Igualando os tempos:
2 raiz2(H - h)g = v0yg
Substituindo v0y e H:
2 raiz2(2,67 , m - h)9,81 , m/s^2 = 7,24 , m/s9,81 , m/s^2

Passo 10

Vamos resolver a equação para h.
Primeiro, simplificamos:
2 raiz2(2,67 - h)9,81 = 7,249,81
Dividindo ambos os lados por 2:
raiz2(2,67 - h)9,81 = 7,242 times 9,81 approx 7,2419,62 approx 0,369 , s
Elevando ambos os lados ao quadrado:
2(2,67 - h)9,81 = (0,369)^2 approx 0,136
Multiplicando ambos os lados por 9,81:
2(2,67 - h) = 0,136 times 9,81 approx 1,334
Dividindo ambos os lados por 2:
2,67 - h = 1,3342 approx 0,667
Isolando h:
h = 2,67 - 0,667 approx 2,003 , m

Resposta

A altura h em que a bola colide com a parede é aproximadamente 2,00 , m.

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