Uma criança brincando com seu brinquedo que dispara uma pequena bolinha atira essa bolinha formando um ângulo
com a horizontal. A bolinha atinge uma altura máxima
2.67 m , logo começa declinar na altura atinge uma parede e cai na superfície horizontal verticalmente abaixo do ponto de máxima altura H . Assumindo uma colisão perfeitamente elástica, calcule a altura
do ponto da parede vertical em que a bola colide.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma criança que lança uma bolinha usando um brinquedo que dispara a bolinha formando um ângulo
com a horizontal. A bolinha atinge uma altura máxima
e depois começa a descer. Durante a descida, ela colide com uma parede e, após a colisão perfeitamente elástica, cai verticalmente de volta ao ponto abaixo da altura máxima
. Nosso objetivo é calcular a altura
onde a bolinha colide com a parede.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos de cinemática (o estudo do movimento) e colisões elásticas na física. Vamos resolver passo a passo para garantir que tudo fique claro!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento da bolinha até atingir a altura máxima
. Quando a bolinha é lançada, ela sobe até a altura máxima onde a velocidade vertical se torna zero. A altura máxima
está relacionada à velocidade inicial da bolinha.
Sabemos que a altura máxima em um movimento vertical é dada pela fórmula:
onde:
-
é a componente vertical da velocidade inicial, -
é a aceleração da gravidade ( ).
Como
, podemos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Passo 3
Calculando
:
Então, a componente vertical da velocidade inicial é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o ponto onde a bolinha colide com a parede durante a descida. Nesse ponto, a altura é
, e a bolinha está descendo com uma certa velocidade vertical
.
Utilizando a equação da velocidade no movimento vertical:
porque a bolinha caiu uma altura
desde o ponto mais alto.
Passo 5
Após a colisão perfeitamente elástica, a velocidade vertical da bolinha será invertida, mantendo o mesmo módulo. Ou seja, a bolinha começará a subir com a velocidade
.
Ela então alcançará novamente a altura máxima
. Isso acontece porque a bolinha subirá até a altura igual à altura máxima original, já que a energia foi conservada na colisão.
Passo 6
No trajeto de volta após a colisão, a bolinha atinge novamente a altura
e começa a descer. A distância que ela percorre desde o novo ponto de colisão até a altura
deve ser a mesma que a distância da descida anterior, ou seja,
.
Como o tempo de subida e descida é o mesmo para a mesma distância, podemos estabelecer que o tempo de descida até a parede é igual ao tempo de subida após a colisão.
Passo 7
O tempo para a bolinha descer de
até
é dado por:
O tempo para a bolinha subir de
até
após a colisão é o mesmo:
Passo 8
O tempo total desde o lançamento até a bolinha chegar novamente a
é o dobro desse tempo:
Esse tempo também corresponde ao tempo que a bolinha leva para subir até a altura máxima
inicialmente, que é:
Passo 9
Igualando os tempos:
Substituindo
e
:
Passo 10
Vamos resolver a equação para
.
Primeiro, simplificamos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 9,81:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isolando
:
Resposta
A altura
em que a bola colide com a parede é aproximadamente
.