Para criar uma senha, pode-se embaraIhar os caracteres utilizados e recriar uma nova. Calcule o número de senhas distintas que podem ser criadas utilizando todos os caracteres em cada um dos casos a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule o número de senhas distintas que podem ser criadas utilizando todos os caracteres” na lista
.\n
Informações dadas importantes:\n
Informações dadas importantes:\n
- Os caracteres disponíveis são
.\n - O total de caracteres a usar é
.\n - Há repetições: a letra
aparece vezes e o dígito aparece vezes. Os outros símbolos aparecem vez cada.\n
A pergunta é: quantas senhas distintas (ou seja, quantas permutações diferentes tratando iguais como indistinguíveis) podem ser formadas usando exatamente esses sete caracteres?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha calma): quando queremos contar permutações de
objetos, todas distintos, o número é
. A notação
(lê-se "fatorial de
") significa
Mas quando há repetições — ou seja, alguns objetos são idênticos entre si — cada arranjo que troca esses idênticos não produz uma nova senha. Para corrigir isso, dividimos por
para cada grupo de
objetos idênticos. A fórmula geral para o número de permutações distintas de um multiconjunto é
onde
é o total de objetos e
são as multiplicidades dos símbolos repetidos. Explicando as variáveis:
é o total de caracteres que vamos permutar; cada
é quantas vezes um símbolo idêntico aparece.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos
, e as repetições são
e
. Portanto o número de senhas distintas é
Passo 4
Vamos calcular passo a passo os fatoriais e a divisão, sem pular etapas.\n
Calculemos :
Calculemos
Fazendo as multiplicações em sequência:
Logo
. Também
. Então retornamos à fração:
Passo 5
Agora simplificamos a divisão de forma mental ou passo a passo sem calculadora. Podemos dividir por
duas vezes:
Portanto
Passo 6
Exemplo concreto menor (para você fixar a ideia): com
temos
e uma repetição de
com
, então o número de arranjos distintos é
e os arranjos possíveis são
. Isso mostra por que dividimos: as permutações que trocam os
não geram novas sequências.
Passo 7
Dica rápida para a prova: conte
, identifique as multiplicidades dos símbolos repetidos, escreva
, cancele fatores antes de multiplicar (por exemplo dividir por
logo que aparece) para evitar números grandes, e termine a divisão. Você está no caminho certo — com prática isso vira automático!