Para criar uma senha, pode-se embaraIhar os caracteres utilizados e recriar uma nova. Calcule o número de senhas distintas que podem ser criadas utilizando todos os caracteres em cada um dos casos a seguir.
1,3, M, M, F, 9,9

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule o número de senhas distintas que podem ser criadas utilizando todos os caracteres” na lista (1,3,M,M,F,9,9).\n
Informações dadas importantes:\n
  • Os caracteres disponíveis são (1,3,M,M,F,9,9).\n
  • O total de caracteres a usar é \,n=7.\n
  • Há repetições: a letra M aparece 2 vezes e o dígito 9 aparece 2 vezes. Os outros símbolos 1,3,F aparecem 1 vez cada.\n
    A pergunta é: quantas senhas distintas (ou seja, quantas permutações diferentes tratando iguais como indistinguíveis) podem ser formadas usando exatamente esses sete caracteres?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha calma): quando queremos contar permutações de n objetos, todas distintos, o número é n!. A notação \,n! (lê-se "fatorial de n") significa
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Mas quando há repetições — ou seja, alguns objetos são idênticos entre si — cada arranjo que troca esses idênticos não produz uma nova senha. Para corrigir isso, dividimos por n_i! para cada grupo de n_i objetos idênticos. A fórmula geral para o número de permutações distintas de um multiconjunto é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!},
onde n é o total de objetos e n_1,n_2,\dots,n_k são as multiplicidades dos símbolos repetidos. Explicando as variáveis: \,n é o total de caracteres que vamos permutar; cada n_i é quantas vezes um símbolo idêntico aparece.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos n=7, e as repetições são n_M=2 e n_9=2. Portanto o número de senhas distintas é
\frac{7!}{2!\,2!}.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo os fatoriais e a divisão, sem pular etapas.\n
Calculemos \,7!:
7! = 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.
Fazendo as multiplicações em sequência:
7\cdot 6 = 42,
42\cdot 5 = 210,
210\cdot 4 = 840,
840\cdot 3 = 2520,
2520\cdot 2 = 5040,
5040\cdot 1 = 5040.
Logo 7!=5040. Também 2!=2. Então retornamos à fração:
\frac{7!}{2!\,2!}=\frac{5040}{2\cdot 2}=\frac{5040}{4}.

Passo 5

Agora simplificamos a divisão de forma mental ou passo a passo sem calculadora. Podemos dividir por 2 duas vezes:
5040\div 2 = 2520,
2520\div 2 = 1260.
Portanto
\frac{5040}{4}=1260.

Passo 6

Exemplo concreto menor (para você fixar a ideia): com (A,A,B) temos n=3 e uma repetição de A com n_A=2, então o número de arranjos distintos é
\frac{3!}{2!}= \frac{6}{2}=3,
e os arranjos possíveis são AAB, ABA, BAA. Isso mostra por que dividimos: as permutações que trocam os A não geram novas sequências.

Passo 7

Dica rápida para a prova: conte n, identifique as multiplicidades dos símbolos repetidos, escreva \dfrac{n!}{\prod n_i!}, cancele fatores antes de multiplicar (por exemplo dividir por 2 logo que aparece) para evitar números grandes, e termine a divisão. Você está no caminho certo — com prática isso vira automático!

Resposta

1260

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