Para cada série, sendo \left\{S_{n}\right\} a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para S_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} n

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} n
e pede duas coisas:
  • Obter uma fórmula para \{S_{n}\}, a sequência das somas parciais, isto é, uma expressão de S_{n} em termos de n.
  • Determinar se a série infinita é convergente ou divergente; se convergente, encontrar sua soma (valor limite de S_{n}).
Informações relevantes fornecidas: os termos gerais da série são a_{n}=n para n=1,2,3,\dots. Não há figura ou tabela.

Passo 2

Defino a soma parcial S_{n} como
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+3+\cdots + (n-1)+n.
Vou obter uma fórmula fechada para S_{n} usando o truque clássico de somar a série “normal” com a série escrita ao contrário.
Escrevo a soma normal e a soma invertida:
S_{n}=1+2+3+\cdots+(n-1)+n,
S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1.
Somando termo a termo as duas expressões (a primeira com a segunda), cada par corresponde a
1+n,\; 2+(n-1),\; 3+(n-2),\;\dots,\; n+1,
ou seja, cada par soma n+1. Há exatamente n pares. Portanto,
2S_{n}=n(n+1).
Dividindo por 2,
S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}.
Aqui \,n é o número de termos somados e S_{n} é a soma desses n primeiros inteiros naturais.

Passo 3

Vou checar a fórmula com um exemplo pequeno para garantir que ela faz sentido: para n=4,
S_{4}=1+2+3+4=10,
e pela fórmula
\frac{4(4+1)}{2}=\frac{4\cdot5}{2}=10,
ok — bate certinho.
Também é possível demonstrar a fórmula por indução (opcional): para n=1 a fórmula dá S_{1}=1. Supondo verdadeira para n, então
S_{n+1}=S_{n}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2},
o que confirma para n+1.

Passo 4

Agora teste de convergência. Uma condição necessária para que uma série \sum a_{n} converja é que os termos a_{n} tendam a zero quando n\to\infty. Aqui a_{n}=n, e
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} n = +\infty \neq 0.
Portanto, pela contrapartida desse teste (às vezes chamado de “teste do termo geral”), a série não pode convergir.
Outra forma de ver: a soma parcial que encontramos é
S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2},
e claramente
\lim_{n\to\infty} S_{n}=+\infty.
Como o limite das somas parciais não é finito, a série diverge (mais precisamente, diverge para +\infty).

Passo 5

Conclusão prática para a prova: a fórmula fechada para as somas parciais é \displaystyle S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}. Como S_{n}\to+\infty quando n\to\infty (ou, equivalentemente, a_{n}=n\not\to0), a série \sum_{n=1}^{\infty} n é divergente e não tem soma finita.

Resposta

\displaystyle S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}
Divergente (a série não converge; não existe soma finita)

Exercícios relacionados