Para cada série, sendo
a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas:
- Obter uma fórmula para
, a sequência das somas parciais, isto é, uma expressão de em termos de . - Determinar se a série infinita é convergente ou divergente; se convergente, encontrar sua soma (valor limite de
).
Informações relevantes fornecidas: os termos gerais da série são
para
. Não há figura ou tabela.
Passo 2
Defino a soma parcial
como
Vou obter uma fórmula fechada para
usando o truque clássico de somar a série “normal” com a série escrita ao contrário.
Escrevo a soma normal e a soma invertida:
Somando termo a termo as duas expressões (a primeira com a segunda), cada par corresponde a
ou seja, cada par soma
. Há exatamente
pares. Portanto,
Dividindo por
,
Aqui
é o número de termos somados e
é a soma desses
primeiros inteiros naturais.
Passo 3
Vou checar a fórmula com um exemplo pequeno para garantir que ela faz sentido: para
,
e pela fórmula
ok — bate certinho.
Também é possível demonstrar a fórmula por indução (opcional): para
a fórmula dá
. Supondo verdadeira para
, então
o que confirma para
.
Passo 4
Agora teste de convergência. Uma condição necessária para que uma série
converja é que os termos
tendam a zero quando
. Aqui
, e
Portanto, pela contrapartida desse teste (às vezes chamado de “teste do termo geral”), a série não pode convergir.
Outra forma de ver: a soma parcial que encontramos é
e claramente
Como o limite das somas parciais não é finito, a série diverge (mais precisamente, diverge para
).
Passo 5
Conclusão prática para a prova: a fórmula fechada para as somas parciais é
. Como
quando
(ou, equivalentemente,
), a série
é divergente e não tem soma finita.
Resposta
Divergente (a série não converge; não existe soma finita)