Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-n}+e^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{-n}+\mathrm{e}^{n}\right)
é convergente ou divergente, e, caso seja convergente, encontrar sua soma.
Informações dadas: o termo geral da série é \mathrm{e}^{-n}+\mathrm{e}^{n} para n=1,2,\dots.
Perguntas claras: (1) a série converge ou diverge? (2) se convergente, qual é a soma?

Passo 2

Lembrete importante (teste necessário): se uma série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge então o termo geral a_n necessariamente tende a zero quando n\to\infty. Em símbolos:
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty}a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Isso é só uma condição necessária (não suficiente): se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 a série já diverge imediatamente. Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Calcule o limite do termo geral a_n=\mathrm{e}^{-n}+\mathrm{e}^{n}. Podemos fatorar \mathrm{e}^{n}:
a_n = \mathrm{e}^{n} + \mathrm{e}^{-n} = \mathrm{e}^{n}\bigl(1+\mathrm{e}^{-2n}\bigr).
Como \lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{-2n}=0, temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{n}\bigl(1+\mathrm{e}^{-2n}\bigr)=\infty.
Portanto \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (na verdade diverge para +\infty). Pelo teste necessário acima, a série não pode convergir.

Passo 4

Uma visão alternativa (que confirma e dá mais intuição): separamos a série em duas séries
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{-n}+\mathrm{e}^{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{-n} \;+\; \sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{n}.
A primeira é uma série geométrica com razão r=\mathrm{e}^{-1} satisfazendo |r|<1, logo converge. A soma dessa primeira, se isolada, é
\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{-n}=\frac{\mathrm{e}^{-1}}{1-\mathrm{e}^{-1}}=\frac{1}{\mathrm{e}-1}.
(Recordando a fórmula: para |r|<1, \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\dfrac{r}{1-r}.)

Passo 5

A segunda série \sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{e}^{n} é também geométrica, mas com razão r=\mathrm{e}>1. Para r>1 a soma parcial cresce sem limite, então a série diverge (para +\infty). Como a soma de duas séries é convergente somente se ambas convergirem, a presença dessa segunda série divergente faz com que a série total diverge.

Passo 6

Conclusão combinando os argumentos: o termo geral não tende a zero (Passo 3), e a decomposição mostra que uma parte diverge (Passo 5). Portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{-n}+\mathrm{e}^{n}\right)
é divergente e não tem soma finita.

Resposta

A série é divergente.
Não existe soma finita.

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