Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente, e, caso seja convergente, encontrar sua soma.
Informações dadas: o termo geral da série é para
.
Perguntas claras: (1) a série converge ou diverge? (2) se convergente, qual é a soma?
Informações dadas: o termo geral da série é
Perguntas claras: (1) a série converge ou diverge? (2) se convergente, qual é a soma?
Passo 2
Lembrete importante (teste necessário): se uma série
converge então o termo geral
necessariamente tende a zero quando
. Em símbolos:
Isso é só uma condição necessária (não suficiente): se
a série já diverge imediatamente. Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Calcule o limite do termo geral
. Podemos fatorar
:
Como
, temos
Portanto
(na verdade diverge para
). Pelo teste necessário acima, a série não pode convergir.
Passo 4
Uma visão alternativa (que confirma e dá mais intuição): separamos a série em duas séries
A primeira é uma série geométrica com razão
satisfazendo
, logo converge. A soma dessa primeira, se isolada, é
(Recordando a fórmula: para
,
.)
Passo 5
A segunda série
é também geométrica, mas com razão
. Para
a soma parcial cresce sem limite, então a série diverge (para
). Como a soma de duas séries é convergente somente se ambas convergirem, a presença dessa segunda série divergente faz com que a série total diverge.
Passo 6
Conclusão combinando os argumentos: o termo geral não tende a zero (Passo 3), e a decomposição mostra que uma parte diverge (Passo 5). Portanto a série
é divergente e não tem soma finita.
Resposta
A série é divergente.
Não existe soma finita.
Não existe soma finita.