Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações:
  • André: Eduardo é o culpado.
  • Eduardo: João é o culpado.
  • Rafael: Eu não sou culpado.
  • João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado.
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, o culpado é:
(A) certamente André.
(B) certamente Eduardo.
(C) certamente Rafael.
(D) certamente João.
(E) não pode ser determinado com essas informações.

Passo 1

O enunciado dá quatro suspeitos — André, Eduardo, Rafael e João — e as declarações feitas por cada um:
  • André: Eduardo é o culpado.
  • Eduardo: João é o culpado.
  • Rafael: Eu não sou culpado.
  • João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado.
Também é dado que apenas um dos quatro falou a verdade (ou seja, exatamente uma declaração é verdadeira e as outras três são falsas).
A pergunta é: com essas informações, quem é o culpado? (alternativas de (A) a (E)).

Passo 2

Vamos traduzir as declarações em sentenças lógicas simbólicas para ficar mais claro e poder contar quantas são verdadeiras em cada hipótese. Defino:
  • S_A: “Eduardo é culpado.” (a declaração de André)
  • S_E: “João é culpado.” (a declaração de Eduardo)
  • S_R: “Rafael não é culpado.” (a declaração de Rafael)
  • S_J: “Eduardo mente quando diz que João é culpado.” (a declaração de João)
Agora explico o que significa cada S ser verdadeira ou falsa:
  • S_A é verdadeira exatamente quando quem é culpado é Eduardo.
  • S_E é verdadeira exatamente quando quem é culpado é João.
  • S_R é verdadeira exatamente quando Rafael não é o culpado.
  • S_J afirma que S_E é falsa. Logo, S_J é verdadeira exatamente quando S_E é falsa. Em símbolos:
S_J \iff \lnot S_E.
Como S_E equivale a “João é culpado”, então S_J equivale a “João não é culpado” (ou seja, João é inocente).

Passo 3

Método: testar cada hipótese “o culpado é X” para X\in\{\text{André},\text{Eduardo},\text{Rafael},\text{João}\}éã, avaliar a veracidade de S_A,S_E,S_R,S_J sob essa hipótese e contar quantas sentenças são verdadeiras. Aceitamos a hipótese somente se exatamente uma sentença for verdadeira (condição do enunciado).

Passo 4

  • S_A: “Eduardo é culpado” → falsa (pois o culpado seria André).
  • S_E: “João é culpado” → falsa.
  • S_R: “Rafael não é culpado” → verdadeira (Rafael não é culpado nesse cenário).
  • S_J: “João não é culpado” → verdadeira (já que o culpado é André).
    Contagem: há 2 sentenças verdadeiras ( S_R e S_J). Isso contradiz a informação “apenas uma disse a verdade”. Logo, André não pode ser o culpado.

Passo 5

  • S_A: “Eduardo é culpado” → verdadeira.
  • S_E: “João é culpado” → falsa.
  • S_R: “Rafael não é culpado” → verdadeira.
  • S_J: “João não é culpado” → verdadeira.
    Contagem: há 3 sentenças verdadeiras ( S_A,S_R,S_J). Contradição com “apenas uma verdadeira”. Logo, Eduardo não pode ser o culpado.

Passo 6

  • S_A: “Eduardo é culpado” → falsa.
  • S_E: “João é culpado” → falsa.
  • S_R: “Rafael não é culpado” → falsa (pois Rafael é culpado nessa hipótese).
  • S_J: “João não é culpado” → verdadeira (o culpado é Rafael, logo João é inocente).
    Contagem: exatamente 1 sentença verdadeira (apenas S_J). Isso satisfaz a condição do enunciado.

Passo 7

  • S_A: “Eduardo é culpado” → falsa.
  • S_E: “João é culpado” → verdadeira.
  • S_R: “Rafael não é culpado” → verdadeira.
  • S_J: “João não é culpado” → falsa.
    Contagem: há 2 sentenças verdadeiras ( S_E e S_R). Contradição com “apenas uma verdadeira”. Logo, João não pode ser o culpado.

Passo 8

Das quatro hipóteses testadas, apenas a hipótese “Rafael é o culpado” produz exatamente uma declaração verdadeira (a de João). Portanto, com a informação dada (apenas uma verdade), concluímos com certeza quem é o culpado.

Resposta

(C) certamente Rafael.

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