Exercício 04: Meus quatro filhos do sexo masculino, Newton, Arquimedes, Pitágoras e Gauss, apostaram uma corrida.
Newton disse: “Pitágoras chegou em segundo e Gauss em terceiro”.
Arquimedes disse: “Pitágoras ganhou e eu cheguei em segundo”.
Pitágoras disse: “Gauss foi o último e Newton o segundo”.
Sabendo que em cada afirmação há uma verdade e uma mentira, pergunta-se: quem chegou em último lugar?
(a) Newton;
(b) Arquimedes;
(c) Pitágoras;
(d) Gauss;
(e) não é possível determinar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Participantes: Newton, Arquimedes, Pitágoras e Gauss (quatro colocados distintos: 1,2,3,4, sendo 1 o vencedor e 4 o último).
  • Afirmações (cada afirmação contém duas proposições; para cada filho exatamente uma das duas é verdadeira e a outra é falsa):
    • Newton disse: “Pitágoras chegou em segundo” e “Gauss em terceiro”. Ou seja, as proposições são P=2 e G=3.
    • Arquimedes disse: “Pitágoras ganhou” e “eu (Arquimedes) cheguei em segundo”. Ou seja, P=1 e A=2.
    • Pitágoras disse: “Gauss foi o último” e “Newton o segundo”. Ou seja, G=4 e N=2.
  • Condição-chave: para cada um (Newton, Arquimedes, Pitágoras) exatamente uma das suas duas proposições é verdadeira e a outra é falsa.
  • Pergunta: quem chegou em último lugar? (opções: (a) Newton; (b) Arquimedes; (c) Pitágoras; (d) Gauss; (e) não é possível determinar.)

Passo 2

Estratégia prática (explicação didática): como as proposições citam posições discretas ( 1,2,3,4), a maneira mais direta é testar as posições possíveis (ou usar raciocínio por cases). Vou testar cada possibilidade para a posição de Pitágoras ( P) porque muitas proposições o envolvem e isso reduz rapidamente os casos. Em cada caso, uso a regra “uma verdade e uma mentira” para deduzir posições dos outros e checar consistência (duas pessoas não podem ocupar a mesma colocação).

Passo 3

Caso 1: suponha P=1 (Pitágoras ganhou).
  • Arquimedes afirma P=1 e A=2. Como P=1 é verdadeiro, pela regra de “uma verdade e uma mentira” a outra proposição de Arquimedes ( A=2) deve ser falsa. Logo A\neq 2.
  • Newton afirma P=2 e G=3. Como P=2 é falso (pois P=1), Newton deve ter a outra proposição verdadeira: G=3. Logo G=3.
  • Pitágoras afirma G=4 e N=2. Sabemos G=3, então G=4 é falso; portanto, por “uma verdade e uma mentira”, a outra proposição de Pitágoras ( N=2) deve ser verdadeira. Logo N=2.
  • Agora temos P=1, N=2, G=3. A única posição restante é 4, que fica com Arquimedes: A=4. Isso não contradiz A\neq 2 (confirmado).
  • Conclusão do caso: consistente. Resultado: último é Arquimedes ( A=4).

Passo 4

Caso 2: suponha P=2.
  • Newton afirma P=2 e G=3. Como P=2 seria verdadeiro, Newton exigiria que G=3 fosse falso. Logo G\neq 3.
  • Arquimedes afirma P=1 e A=2. Como P=1 é falso (já que P=2), para Arquimedes a outra proposição deve ser verdadeira: A=2. Então A=2.
  • Mas isso dá uma contradição imediata: assumimos P=2 e também obtemos A=2; duas pessoas não podem ocupar a mesma posição 2. Logo P=2 é impossível.

Passo 5

Caso 3: suponha P=3.
  • Newton afirma P=2 e G=3. Como P=2 é falso, para Newton a outra proposição deve ser verdadeira: G=3.
  • Isso implica G=3, mas assumimos P=3. Não é possível que P e G ocupem a mesma posição 3. Contradição.
  • Portanto P=3 é impossível.

Passo 6

Caso 4: suponha P=4.
  • Newton afirma P=2 e G=3. Como P=2 é falso, Newton deve ter G=3 verdadeiro. Logo G=3.
  • Arquimedes afirma P=1 e A=2. Como P=1 é falso (pois P=4), Arquimedes precisa que A=2 seja verdadeiro. Logo A=2.
  • Pitágoras afirma G=4 e N=2. Como G=3, a proposição G=4 é falsa, então a outra ( N=2) deve ser verdadeira. Logo N=2.
  • Mas agora temos A=2 e N=2 ao mesmo tempo — duas pessoas na mesma posição 2, o que é impossível. Logo P=4 é contraditório.

Passo 7

Resumo dos quatro casos:
  • P=1 levou a uma solução consistente: (P,N,G,A) = (1,2,3,4), isto é, Arquimedes em último.
  • P=2, P=3 e P=4 levam a contradições.
Como apenas P=1 é consistente com a regra “cada afirmação tem uma verdade e uma mentira”, a solução é única: Arquimedes chegou em último.

Resposta

(b) Arquimedes

Exercícios relacionados