Exercício 04: Meus quatro filhos do sexo masculino, Newton, Arquimedes, Pitágoras e Gauss, apostaram uma corrida.
Newton disse: “Pitágoras chegou em segundo e Gauss em terceiro”.
Arquimedes disse: “Pitágoras ganhou e eu cheguei em segundo”.
Pitágoras disse: “Gauss foi o último e Newton o segundo”.
Sabendo que em cada afirmação há uma verdade e uma mentira, pergunta-se: quem chegou em último lugar?
(a) Newton;
(b) Arquimedes;
(c) Pitágoras;
(d) Gauss;
(e) não é possível determinar.
Arquimedes disse: “Pitágoras ganhou e eu cheguei em segundo”.
Pitágoras disse: “Gauss foi o último e Newton o segundo”.
Sabendo que em cada afirmação há uma verdade e uma mentira, pergunta-se: quem chegou em último lugar?
(a) Newton;
(b) Arquimedes;
(c) Pitágoras;
(d) Gauss;
(e) não é possível determinar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Participantes: Newton, Arquimedes, Pitágoras e Gauss (quatro colocados distintos:
, sendo o vencedor e o último). - Afirmações (cada afirmação contém duas proposições; para cada filho exatamente uma das duas é verdadeira e a outra é falsa):
- Newton disse: “Pitágoras chegou em segundo” e “Gauss em terceiro”. Ou seja, as proposições são
e . - Arquimedes disse: “Pitágoras ganhou” e “eu (Arquimedes) cheguei em segundo”. Ou seja,
e . - Pitágoras disse: “Gauss foi o último” e “Newton o segundo”. Ou seja,
e .
- Newton disse: “Pitágoras chegou em segundo” e “Gauss em terceiro”. Ou seja, as proposições são
- Condição-chave: para cada um (Newton, Arquimedes, Pitágoras) exatamente uma das suas duas proposições é verdadeira e a outra é falsa.
- Pergunta: quem chegou em último lugar? (opções: (a) Newton; (b) Arquimedes; (c) Pitágoras; (d) Gauss; (e) não é possível determinar.)
Passo 2
Estratégia prática (explicação didática): como as proposições citam posições discretas (
), a maneira mais direta é testar as posições possíveis (ou usar raciocínio por cases). Vou testar cada possibilidade para a posição de Pitágoras (
) porque muitas proposições o envolvem e isso reduz rapidamente os casos. Em cada caso, uso a regra “uma verdade e uma mentira” para deduzir posições dos outros e checar consistência (duas pessoas não podem ocupar a mesma colocação).
Passo 3
Caso 1: suponha
(Pitágoras ganhou).
- Arquimedes afirma
e . Como é verdadeiro, pela regra de “uma verdade e uma mentira” a outra proposição de Arquimedes ( ) deve ser falsa. Logo . - Newton afirma
e . Como é falso (pois ), Newton deve ter a outra proposição verdadeira: . Logo . - Pitágoras afirma
e . Sabemos , então é falso; portanto, por “uma verdade e uma mentira”, a outra proposição de Pitágoras ( ) deve ser verdadeira. Logo . - Agora temos
, , . A única posição restante é , que fica com Arquimedes: . Isso não contradiz (confirmado). - Conclusão do caso: consistente. Resultado: último é Arquimedes (
).
Passo 4
Caso 2: suponha
.
- Newton afirma
e . Como seria verdadeiro, Newton exigiria que fosse falso. Logo . - Arquimedes afirma
e . Como é falso (já que ), para Arquimedes a outra proposição deve ser verdadeira: . Então . - Mas isso dá uma contradição imediata: assumimos
e também obtemos ; duas pessoas não podem ocupar a mesma posição . Logo é impossível.
Passo 5
Caso 3: suponha
.
- Newton afirma
e . Como é falso, para Newton a outra proposição deve ser verdadeira: . - Isso implica
, mas assumimos . Não é possível que e ocupem a mesma posição . Contradição. - Portanto
é impossível.
Passo 6
Caso 4: suponha
.
- Newton afirma
e . Como é falso, Newton deve ter verdadeiro. Logo . - Arquimedes afirma
e . Como é falso (pois ), Arquimedes precisa que seja verdadeiro. Logo . - Pitágoras afirma
e . Como , a proposição é falsa, então a outra ( ) deve ser verdadeira. Logo . - Mas agora temos
e ao mesmo tempo — duas pessoas na mesma posição , o que é impossível. Logo é contraditório.
Passo 7
Resumo dos quatro casos:
-
levou a uma solução consistente: , isto é, Arquimedes em último. -
, e levam a contradições.
Como apenas
é consistente com a regra “cada afirmação tem uma verdade e uma mentira”, a solução é única: Arquimedes chegou em último.
Resposta
(b) Arquimedes