(Critério da comparação no limite): Sejam \sum a_{n} e \sum b_{n} séries de termos positivos e seja l=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right). Mostre que:
a) Se l>0 as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} são ambas convergentes ou ambas divergentes.
b) Se l=0 e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge.
c) Se l=+\infty e \sum b_{n} é divergente, então \sum a_{n} também é divergente.

Passo 1

Resumindo, temos duas séries de termos positivos \sum a_{n} e \sum b_{n} e o limite
l=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}.
Vamos usar o fato de que, se o quociente dos termos tende a uma constante estritamente positiva, a zero ou ao infinito, podemos comparar a convergência das séries.

Passo 2

Caso a) l>0. Então existe N tal que para todo n>N
\frac{l}{2}\le\frac{a_{n}}{b_{n}}\le\frac{3l}{2}.
Isto implica
\frac{l}{2}\,b_{n}\le a_{n}\le\frac{3l}{2}\,b_{n}.
Pela comparação direta, a parte “cauda” das séries a partir de N+1 converge ou diverge simultaneamente. Logo, \sum a_{n} e \sum b_{n} são ambas convergentes ou ambas divergentes.

Passo 3

Caso b) l=0. Escolhendo \varepsilon=1, existe N tal que para n>N
\frac{a_{n}}{b_{n}}<1 \quad\Longrightarrow\quad a_{n}<b_{n}.
Como \sum b_{n} converge, pela comparação direta \sum a_{n} também converge.

Passo 4

Caso c) l=+\infty. Existe N tal que para n>N
\frac{a_{n}}{b_{n}}>1 \quad\Longrightarrow\quad a_{n}>b_{n}.
Como \sum b_{n} diverge, pela comparação direta a “cauda” de \sum a_{n} também diverge, logo \sum a_{n} diverge.

Resposta

As três afirmações do critério de comparação no limite estão demonstradas.

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