(Critério da comparação no limite): Sejam
e
séries de termos positivos e seja
. Mostre que:
a) Se
as séries
e
são ambas convergentes ou ambas divergentes.
b) Se
e
converge, então
também converge.
c) Se
e
é divergente, então
também é divergente.
a) Se
b) Se
c) Se
Passo 1
Resumindo, temos duas séries de termos positivos
e
e o limite
Vamos usar o fato de que, se o quociente dos termos tende a uma constante estritamente positiva, a zero ou ao infinito, podemos comparar a convergência das séries.
Passo 2
Caso a)
. Então existe
tal que para todo
Isto implica
Pela comparação direta, a parte “cauda” das séries a partir de
converge ou diverge simultaneamente. Logo,
e
são ambas convergentes ou ambas divergentes.
Passo 3
Caso b)
. Escolhendo
, existe
tal que para
Como
converge, pela comparação direta
também converge.
Passo 4
Caso c)
. Existe
tal que para
Como
diverge, pela comparação direta a “cauda” de
também diverge, logo
diverge.
Resposta
As três afirmações do critério de comparação no limite estão demonstradas.