Resolva a equação \log _{2}(x-1)+\log _{2}(x+1)=3.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\log_{2}(x-1)+\log_{2}(x+1)=3.
Aqui vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz
\log_{a}A+\log_{a}B=\log_{a}(AB),
e lembrar que, para os logaritmos estarem definidos, precisamos de
x-1>0\quad\text{e}\quad x+1>0\;\Rightarrow\;x>1.

Passo 2

Aplicando a soma de logaritmos, obtemos
\log_{2}\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=3.

Passo 3

Converter o logaritmo em equação exponencial:
(x-1)(x+1)=2^3=8.
Expandindo, chega-se a
x^2-1=8\quad\Longrightarrow\quad x^2=9\quad\Longrightarrow\quad x=\pm3.

Passo 4

Como o domínio exige x>1, descartamos x=-3 e ficamos com x=3.

Resposta

x=3

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