(critério de divisibilidade por 7) Prove que número natural a é divisível por 7 se , e somente se, o número formado pela difereça entre o número obtido de a retirando-se o algarismo das unidades e o dobro do algarismo das unidades é divisível por 7 .

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte equivalência: o número natural a é divisível por 7 se, e somente se, o número formado pela diferença entre o número obtido de a retirando-se o algarismo das unidades e o dobro do algarismo das unidades é divisível por 7.
Informações dadas e notação que vou usar (tudo explícito):

\bullet Seja u o algarismo das unidades de a. Então u é um inteiro com 0\le u\le9.\n
\bullet Seja q o número obtido de a ao retirar o algarismo das unidades (ou seja, q são os outros dígitos de a).\n
\bullet Assim podemos escrever
a = 10q + u.

O que preciso provar: \,a é divisível por 7 se, e somente se, o número
q - 2u
é divisível por 7. Em símbolos, mostrar que
7\mid a \quad\Longleftrightarrow\quad 7\mid (q-2u).

Passo 2

Ideia geral (explicada devagar): vou trabalhar com congruências módulo 7. Explico o que isso significa: dizer que um inteiro x é congruente a y módulo 7, escrito x\equiv y\pmod{7}, equivale a dizer que 7 divide x-y. Assim mostrar 7\mid a é o mesmo que mostrar a\equiv 0\pmod{7}. Vou reescrever a em função de q e u e reduzir coeficientes módulo 7 para relacionar a com q-2u.
Começo pela decomposição em dígitos já escrita:
a = 10q + u.
Isto é simplesmente a definição de retirar o algarismo das unidades: multiplico q por 10 e somo u.

Passo 3

Reduzo 10 módulo 7. Note que
10 - 3 = 7,
logo
10 \equiv 3 \pmod{7}.
Substituindo na expressão de a obtemos, em termos de congruência,
a = 10q + u \equiv 3q + u \pmod{7}.
Aqui usei que se x\equiv x'\pmod{7} então xq\equiv x'q\pmod{7} e a congruência preserva soma.

Passo 4

Quero ligar 3q+u com q-2u. Façamos a conta
3(q - 2u) = 3q - 6u.
Agora veja que -6 \equiv 1 \pmod{7} porque -6 + 7 = 1. Portanto
3q - 6u \equiv 3q + u \pmod{7}.
Juntando com o resultado do passo anterior, temos a relação importante
a \equiv 3q + u \equiv 3(q - 2u) \pmod{7}.

Passo 5

Interpretação dessa relação: a congruência
a \equiv 3(q - 2u) \pmod{7}
significa que a - 3(q-2u) é múltiplo de 7. Agora use uma propriedade chave: como \gcd(3,7)=1, o número 3 é inversível módulo 7. (Uma verificação rápida: 3\cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}, logo a inversa de 3 módulo 7 é 5.) Isso implica que multiplicar por 3 não altera a condição de divisibilidade por 7: para um inteiro x,
3x \equiv 0 \pmod{7}\quad\Longleftrightarrow\quad x \equiv 0 \pmod{7}.
Aplicando isso ao nosso caso, da congruência a \equiv 3(q-2u)\pmod{7} segue que
a \equiv 0 \pmod{7}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(q-2u)\equiv 0\pmod{7}\quad\Longleftrightarrow\quad q-2u\equiv 0\pmod{7}.
Em palavras: 7\mid a se e somente se 7\mid (q-2u).

Passo 6

Para consolidar a intuição, um exemplo numérico rápido: tome a=203. Aqui q=20 e u=3. Calculamos q-2u=20-6=14, que é divisível por 7. Pelo resultado, a também deve ser divisível por 7; de fato 203=7\cdot29. O método funciona.

Passo 7

Conclusão final: mostramos passo a passo, sem pular etapas, que da decomposição em dígitos e do cálculo módulo 7 segue-se a equivalência desejada, usando apenas propriedades simples de congruências e o fato de que 3 é invertível módulo 7.

Resposta

Seja a=10q+u com u o algarismo das unidades. Então a é divisível por 7 se, e somente se, q-2u é divisível por 7.

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