(critério de divisibilidade por 7) Prove que número natural
é divisível por 7 se , e somente se, o número formado pela difereça entre o número obtido de
retirando-se o algarismo das unidades e o dobro do algarismo das unidades é divisível por 7 .
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte equivalência: o número natural
é divisível por
se, e somente se, o número formado pela diferença entre o número obtido de
retirando-se o algarismo das unidades e o dobro do algarismo das unidades é divisível por
.
Informações dadas e notação que vou usar (tudo explícito):
Seja
o algarismo das unidades de
. Então
é um inteiro com
.\n
Seja
o número obtido de
ao retirar o algarismo das unidades (ou seja,
são os outros dígitos de
).\n
Assim podemos escrever
O que preciso provar:
é divisível por
. Em símbolos, mostrar que
Passo 2
Ideia geral (explicada devagar): vou trabalhar com congruências módulo
. Explico o que isso significa: dizer que um inteiro
é congruente a
módulo
, escrito
, equivale a dizer que
divide
. Assim mostrar
é o mesmo que mostrar
. Vou reescrever
em função de
e
e reduzir coeficientes módulo
para relacionar
com
.
Começo pela decomposição em dígitos já escrita:
Isto é simplesmente a definição de retirar o algarismo das unidades: multiplico
por
e somo
.
Passo 3
Reduzo
módulo
. Note que
logo
Substituindo na expressão de
obtemos, em termos de congruência,
Aqui usei que se
então
e a congruência preserva soma.
Passo 4
Quero ligar
com
. Façamos a conta
Agora veja que
porque
. Portanto
Juntando com o resultado do passo anterior, temos a relação importante
Passo 5
Interpretação dessa relação: a congruência
significa que
é múltiplo de
. Agora use uma propriedade chave: como
, o número
é inversível módulo
. (Uma verificação rápida:
, logo a inversa de
módulo
é
.) Isso implica que multiplicar por
não altera a condição de divisibilidade por
: para um inteiro
,
Aplicando isso ao nosso caso, da congruência
segue que
Em palavras:
se e somente se
.
Passo 6
Para consolidar a intuição, um exemplo numérico rápido: tome
. Aqui
e
. Calculamos
, que é divisível por
. Pelo resultado,
também deve ser divisível por
; de fato
. O método funciona.
Passo 7
Conclusão final: mostramos passo a passo, sem pular etapas, que da decomposição em dígitos e do cálculo módulo
segue-se a equivalência desejada, usando apenas propriedades simples de congruências e o fato de que
é invertível módulo
.
Resposta
Seja
com
o algarismo das unidades. Então
é divisível por
se, e somente se,
é divisível por
.