(critério de divisibilidade por 9) Prove que número natural a é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus algarismos é divisível por 9.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência lógica: “o número natural a é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus algarismos é divisível por 9”.\n
Informações fornecidas (explicitamente ou implícitas que usaremos):\n
  • a é um número natural qualquer.\n
  • Podemos escrever a na sua representação decimal padrão usando os seus algarismos (dígitos). Se os algarismos de a são d_0,d_1,\dots,d_n (onde d_n\neq 0 e 0\le d_k\le 9 para todo k), então a pode ser escrita como uma soma de potências de 10 multiplicadas pelos dígitos.\n
    O que precisamos provar:\n
  • Mostrar que 9 divide a se, e somente se, 9 divide \displaystyle\sum_{k=0}^{n} d_k (a soma dos algarismos de a).

Passo 2

Escrevendo o número pela sua expansão decimal.\n
Qualquer número natural a com dígitos d_0,d_1,\dots,d_n pode ser escrito como
a = d_0 + d_1 10 + d_2 10^2 + \cdots + d_n 10^n = \sum_{k=0}^{n} d_k 10^k.
Aqui cada d_k é o algarismo da posição 10^k: d_0 é a unidade, d_1 as dezenas, d_2 as centenas, e assim por diante. Esta é a forma padrão decimal e vamos usá-la.

Passo 3

Definição e ideia de trabalhar com resto (congruência modulo 9).\n
Dizemos que " 9 divide x " e escrevemos 9\mid x quando existe um inteiro m tal que x=9m. Equivalentemente, dizemos que x é congruente a y módulo 9 e escrevemos x\equiv y\pmod{9} quando 9 divide x-y.\n
Propriedades úteis que vamos usar (são fáceis de justificar e muito usadas em provas de divisibilidade):\n
  • Se x\equiv y\pmod{9} e u\equiv v\pmod{9}, então x+u\equiv y+v\pmod{9} e xu\equiv yv\pmod{9}.\n
  • Em particular, se b\equiv c\pmod{9} então b^k\equiv c^k\pmod{9} para todo inteiro k\ge 0.

Passo 4

Observação chave: 10\equiv 1\pmod{9}.\n
Isto vem do fato óbvio que 10-1=9 e 9 é divisível por 9. Usando a propriedade de potências (ou indução), para todo inteiro k\ge 0 temos
10^k \equiv 1^k \pmod{9},
ou seja
10^k \equiv 1 \pmod{9}.
Vou justificar rapidamente por indução: para k=0 temos 10^0=1. Se 10^k\equiv1\pmod9 então 10^{k+1}=10\cdot10^k\equiv 1\cdot1=1\pmod9. Assim vale para todo k.

Passo 5

Aplicando essa observação à expansão decimal de a.\n
Usando a expansão do Passo 2 e a congruência do Passo 4, obtemos
a = \sum_{k=0}^{n} d_k 10^k \equiv \sum_{k=0}^{n} d_k \cdot 1 = \sum_{k=0}^{n} d_k \pmod{9}.
Isto significa que a e a soma dos seus algarismos têm o mesmo resto na divisão por 9. Em termos de divisibilidade: 9 divide a se, e somente se, 9 divide \sum_{k=0}^{n} d_k.\n
Outra forma de ver a mesma coisa (muito usada em provas elementares) é notar que
a - \sum_{k=0}^{n} d_k = \sum_{k=0}^{n} d_k(10^k-1).
Mas para cada k\ge1 temos 10^k-1=(10-1)(10^{k-1}+\cdots+1)=9\cdot(\text{inteiro}), logo cada termo d_k(10^k-1) é múltiplo de 9. (Para k=0 a contribuição é zero já que 10^0-1=0.) Assim a soma inteira a-\sum d_k é múltipla de 9, o que equivale ao mesmo resultado.

Passo 6

Conclusão lógica e interpretação prática.\n
Do Passo 5 temos a equivalência direta:
9\mid a \quad\Longleftrightarrow\quad 9\mid \sum_{k=0}^{n} d_k.
Ou seja, a é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus algarismos é divisível por 9.\n
Exemplo rápido para fixar: a=327. Soma dos algarismos 3+2+7=12. Temos 12 não é múltiplo de 9 (resto 3), portanto 327 também não é múltiplo de 9; de fato 327=9\cdot36+3. Se pegarmos a=729, soma 7+2+9=18 que é múltiplo de 9, e realmente 729=9\cdot81.

Passo 7

Observações finais pedagógicas e dica para prova.\n
  • A ideia central é que 10\equiv1\pmod9, então as potências de 10 não mudam resto quando reduzidas módulo 9; só ficam os coeficientes, que são os algarismos.\n
  • Em prova, bastaria escrever a expansão decimal e afirmar 10^k\equiv1\pmod9, aplicando a propriedade de congruência para concluir. Se quiser ser mais elementar, use a identidade 10^k-1=9(\cdots) para mostrar que a-soma dos dígitos é múltiplo de 9.\n
  • Para testar divisibilidade num exame rápido: some os dígitos e, se a soma for grande, some os dígitos dessa soma novamente (repetir até obter um número pequeno). Se o resultado final for 9 ou 0, então a é divisível por 9.

Resposta

9\mid a \iff 9\mid \displaystyle\sum_{k=0}^{n} d_k

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