(critério de divisibilidade por 9) Prove que número natural
é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência lógica: “o número natural
é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus algarismos é divisível por 9”.\n
Informações fornecidas (explicitamente ou implícitas que usaremos):\n
Informações fornecidas (explicitamente ou implícitas que usaremos):\n
-
é um número natural qualquer.\n - Podemos escrever
na sua representação decimal padrão usando os seus algarismos (dígitos). Se os algarismos de são (onde e para todo ), então pode ser escrita como uma soma de potências de 10 multiplicadas pelos dígitos.\n
O que precisamos provar:\n - Mostrar que
divide se, e somente se, divide (a soma dos algarismos de ).
Passo 2
Escrevendo o número pela sua expansão decimal.\n
Qualquer número natural com dígitos
pode ser escrito como
Qualquer número natural
Aqui cada
é o algarismo da posição
:
é a unidade,
as dezenas,
as centenas, e assim por diante. Esta é a forma padrão decimal e vamos usá-la.
Passo 3
Definição e ideia de trabalhar com resto (congruência modulo 9).\n
Dizemos que " divide
" e escrevemos
quando existe um inteiro
tal que
. Equivalentemente, dizemos que
é congruente a
módulo
e escrevemos
quando
divide
.\n
Propriedades úteis que vamos usar (são fáceis de justificar e muito usadas em provas de divisibilidade):\n
Dizemos que "
Propriedades úteis que vamos usar (são fáceis de justificar e muito usadas em provas de divisibilidade):\n
- Se
e , então e .\n - Em particular, se
então para todo inteiro .
Passo 4
Observação chave:
.\n
Isto vem do fato óbvio que e
é divisível por
. Usando a propriedade de potências (ou indução), para todo inteiro
temos
Isto vem do fato óbvio que
ou seja
Vou justificar rapidamente por indução: para
temos
. Se
então
. Assim vale para todo
.
Passo 5
Aplicando essa observação à expansão decimal de
.\n
Usando a expansão do Passo 2 e a congruência do Passo 4, obtemos
Usando a expansão do Passo 2 e a congruência do Passo 4, obtemos
Isto significa que
e a soma dos seus algarismos têm o mesmo resto na divisão por
. Em termos de divisibilidade:
divide
se, e somente se,
divide
.\n
Outra forma de ver a mesma coisa (muito usada em provas elementares) é notar que
Outra forma de ver a mesma coisa (muito usada em provas elementares) é notar que
Mas para cada
temos
, logo cada termo
é múltiplo de
. (Para
a contribuição é zero já que
.) Assim a soma inteira
é múltipla de
, o que equivale ao mesmo resultado.
Passo 6
Conclusão lógica e interpretação prática.\n
Do Passo 5 temos a equivalência direta:
Do Passo 5 temos a equivalência direta:
Ou seja,
é divisível por
se, e somente se, a soma dos seus algarismos é divisível por
.\n
Exemplo rápido para fixar: . Soma dos algarismos
. Temos
não é múltiplo de
(resto
), portanto
também não é múltiplo de
; de fato
. Se pegarmos
, soma
que é múltiplo de
, e realmente
.
Exemplo rápido para fixar:
Passo 7
Observações finais pedagógicas e dica para prova.\n
- A ideia central é que
, então as potências de não mudam resto quando reduzidas módulo ; só ficam os coeficientes, que são os algarismos.\n - Em prova, bastaria escrever a expansão decimal e afirmar
, aplicando a propriedade de congruência para concluir. Se quiser ser mais elementar, use a identidade para mostrar que soma dos dígitos é múltiplo de .\n - Para testar divisibilidade num exame rápido: some os dígitos e, se a soma for grande, some os dígitos dessa soma novamente (repetir até obter um número pequeno). Se o resultado final for
ou , então é divisível por .