Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer inteiros
e
,\n
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
e
são inteiros;
significa o máximo divisor comum de
e
(por convenção, toma-se o valor positivo).
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar o que significa “dividir”: dizemos que um inteiro
divide um inteiro
(escrevemos
) quando existe um inteiro
tal que
Vou provar a primeira e mais simples observação que usamos várias vezes: para qualquer inteiro
e qualquer inteiro
vale
Prova: se
então existe
com
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
, e como
segue
. A recíproca é igual (aplicar a mesma ideia trocando
por
). Portanto a equivalência está provada.
Passo 3
Agora usemos a equivalência para comparar conjuntos de divisores comuns. Defina
o conjunto de todos os divisores comuns de
e
. Usando a equivalência do passo anterior temos, para todo
,
Logo
. De forma análoga, trocando sinais em
ou em ambos, obtemos
Ou seja, os conjuntos de divisores comuns são idênticos para todas as combinações de sinais.
Passo 4
Por definição (ou por convenção usual),
é o maior inteiro positivo que pertence ao conjunto
. Como os conjuntos de divisores comuns das quatro pares são iguais (passo anterior), o maior elemento positivo desses conjuntos é o mesmo em todos os casos. Portanto as quatro funções
avaliadas em
,
,
e
têm o mesmo valor.
Passo 5
Para fixar a intuição com um exemplo rápido: se
e
, então os divisores comuns de
e
são os mesmos que os de
e
:
, e o maior positivo é
. Assim
.