Prove que m d c(a, b)=m d c(a,-b)=m d c(-a, b)=m d c(-a,-b).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer inteiros a e b,\n \mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(a,-b)=\mathrm{mdc}(-a,b)=\mathrm{mdc}(-a,-b).
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado): a e b são inteiros; \mathrm{mdc}(x,y) significa o máximo divisor comum de x e y (por convenção, toma-se o valor positivo).

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar o que significa “dividir”: dizemos que um inteiro d divide um inteiro x (escrevemos d\mid x) quando existe um inteiro k tal que
x = d\cdot k.
Vou provar a primeira e mais simples observação que usamos várias vezes: para qualquer inteiro d e qualquer inteiro x vale
d\mid x \iff d\mid (-x).
Prova: se d\mid x então existe k\in\mathbb{Z} com x=d\cdot k. Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos -x = d\cdot(-k), e como -k\in\mathbb{Z} segue d\mid (-x). A recíproca é igual (aplicar a mesma ideia trocando x por -x). Portanto a equivalência está provada.

Passo 3

Agora usemos a equivalência para comparar conjuntos de divisores comuns. Defina
C(a,b)=\{\,d\in\mathbb{Z}\mid d\mid a \text{ e } d\mid b\,\},
o conjunto de todos os divisores comuns de a e b. Usando a equivalência do passo anterior temos, para todo d,
d\in C(a,b)\iff (d\mid a \text{ e } d\mid b)\iff (d\mid (-a)\text{ e } d\mid b)\iff d\in C(-a,b).
Logo C(a,b)=C(-a,b). De forma análoga, trocando sinais em b ou em ambos, obtemos
C(a,b)=C(a,-b)=C(-a,b)=C(-a,-b).
Ou seja, os conjuntos de divisores comuns são idênticos para todas as combinações de sinais.

Passo 4

Por definição (ou por convenção usual), \mathrm{mdc}(x,y) é o maior inteiro positivo que pertence ao conjunto C(x,y). Como os conjuntos de divisores comuns das quatro pares são iguais (passo anterior), o maior elemento positivo desses conjuntos é o mesmo em todos os casos. Portanto as quatro funções \mathrm{mdc} avaliadas em (a,b), (a,-b), (-a,b) e (-a,-b) têm o mesmo valor.

Passo 5

Para fixar a intuição com um exemplo rápido: se a=12 e b=-18, então os divisores comuns de 12 e -18 são os mesmos que os de 12 e 18: \{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}, e o maior positivo é 6. Assim \mathrm{mdc}(12,-18)=6=\mathrm{mdc}(12,18)=\mathrm{mdc}(-12,18)=\mathrm{mdc}(-12,-18).

Resposta

\mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(a,-b)=\mathrm{mdc}(-a,b)=\mathrm{mdc}(-a,-b)

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