Verifique se as matrizes abaixo são diagonalizáveis, em caso negativo justifique.
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é diagonalizável.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 2\times2 com entradas a_{11}=1, a_{12}=2, a_{21}=0, a_{22}=-1.
  • A pergunta principal é: “A matriz A é diagonalizável? Em caso negativo, justificar.” (ou seja, devemos dizer se existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que P^{-1}AP=D).]

Passo 2

Vamos encontrar os autovalores de A calculando o polinômio característico. Lembre que para uma matriz 2\times2
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=0
é a equação que dá os autovalores \lambda. Aqui
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 0 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante dessa 2\times2 é o produto dos elementos da diagonal (pois o elemento a_{21}=0):
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=(1-\lambda)(-1-\lambda).
Igualando a zero:
(1-\lambda)(-1-\lambda)=0.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=1\quad\text{e}\quad \lambda_2=-1.]

Passo 3

Mini-aula rápida (essencial para a prova): uma matriz n\times n é diagonalizável se existir uma base do espaço formada por autovetores da matriz — isto é, se houver n autovetores linearmente independentes. No caso 2\times2, basta encontrar dois autovetores linearmente independentes. Além disso, autovalores distintos costumam ajudar: autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. Então, para confirmar diagonalizabilidade, vamos encontrar os autovetores (espaços próprios) de cada autovalor.

Passo 4

Autovetores para \lambda_1=1\). Precisamos resolver \((A-I)v=0\). Calculamos \[A-I=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema linear equivalente:
\begin{cases} 0\cdot x + 2\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x -2\cdot y = 0. \end{cases}
Ambas as equações implicam 2y=0\], logo \(y=0. Não há restrição sobre x, então x é livre (podemos escolher x=1 para um autovetor não nulo). Assim um autovetor associado a \lambda_1=1 é, por exemplo,
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
O espaço próprio correspondente tem dimensão geométrica 1 (um único parâmetro livre).]

Passo 5

Autovetores para \lambda_2=-1\). Precisamos resolver \((A+I)v=0\). Calculamos \[A+I=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
O sistema linear é
\begin{cases} 2x + 2y = 0,\\[4pt] 0x + 0y = 0. \end{cases}
A segunda equação é trivial; a primeira dá 2x+2y=0\Rightarrow x=-y\]. Tomando \(y=1 obtemos x=-1, então um autovetor associado a \lambda_2=-1 é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}
(ou \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}, qualquer múltiplo serve). O espaço próprio aqui também tem dimensão geométrica 1.]

Passo 6

Agora verificamos se os autovetores v_1 e v_2 são linearmente independentes. Dois vetores em \mathbb{R}^2 são independentes se um não é múltiplo do outro. Observamos que v_1=(1,0)^T não é múltiplo de v_2=(1,-1)^T. Uma verificação rápida pelo determinante da matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad \det P = (1)(-1)- (1)(0) = -1 \neq 0,
portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes. Como conseguimos dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, eles formam uma base de autovetores e isso garante que A é diagonalizável.]

Passo 7

(Apresentação explícita da diagonalização — útil para a prova) Tomando P com colunas os autovetores e D a diagonal com os autovalores na mesma ordem:
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Verificação direta (opcional, mas instrutiva): como \det P=-1, P é invertível e, calculando P^{-1}AP (ou verificando PAP = D no caso particular em que P^{-1}=P, o que aqui ocorre), obtemos D. Assim a diagonalização existe e está dada por P^{-1}AP=D.]

Resposta

A é diagonalizável. Uma diagonalização é P^{-1}AP=D com
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

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