Ao cruzar um sinal vermelho, um motorista foi imediatamente parado por um policial. Ao justificar sua atitude errada, o motorista disse que por causa do efeito Doppler percebeu o sinal verde e não vermelho. Sabendo que as frequências das radiações monocromáticas vermelha e verde são, respectivamente,
e
, determine a velocidade que o motorista deveria estar para que sua justificativa pudesse ser verdadeira.
Considere a velocidade da luz igual a
.
Considere a velocidade da luz igual a
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Um motorista cruzou o sinal vermelho, mas ele afirma que, por causa do Efeito Doppler, percebeu o sinal como verde. Nosso objetivo aqui é descobrir a velocidade que esse motorista deveria estar para que a mudança na frequência da luz, causada pelo Efeito Doppler, fizesse o sinal vermelho parecer verde.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Doppler Relativístico para luz, que nos ajuda a entender como a frequência da luz muda quando há movimento relativo entre a fonte da luz e o observador. As fórmulas e conceitos de física sobre ondas eletromagnéticas e relatividade vão ser bem úteis aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Efeito Doppler. Esse efeito ocorre quando há um movimento relativo entre a fonte de uma onda (como a luz) e o observador. Se a fonte e o observador estão se aproximando, a frequência percebida aumenta (deslocamento para o azul). Se estão se afastando, a frequência diminui (deslocamento para o vermelho).
No caso, o motorista estava se movendo em direção ao sinal. O sinal emitia luz vermelha com uma certa frequência, mas devido ao movimento, a frequência que ele percebeu aumentou, fazendo com que ele visse luz verde.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do Efeito Doppler Relativístico para luz. A fórmula é:
Onde:
- $ f’ $ é a frequência observada (verde),
- $ f $ é a frequência emitida (vermelha),
- $ v $ é a velocidade do observador em relação à fonte,
- $ c $ é a velocidade da luz.
Queremos encontrar $ v $, então vamos reorganizar a fórmula para isolar $ v $.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
- Frequência vermelha $ f = 4,5 \times 10^{17} $ Hz,
- Frequência verde $ f’ = 6,0 \times 10^{17} $ Hz,
- Velocidade da luz $ c = 3 \times 10^8 $ m/s.
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ 4,5 \times 10^{17} $:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Vamos multiplicar ambos os lados por $ 1 - \frac{v}{c} $ para eliminar o denominador:
Distribuindo o $ \frac{16}{9} $:
Passo 8
Agora, vamos reunir os termos com $ v $ de um lado e os constantes do outro:
Calculando $ \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9} $:
Passo 9
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \frac{25}{9c} $:
Substituindo $ c = 3 \times 10^8 $ m/s:
Passo 10
Calculando o valor de $ v $:
Resposta
A velocidade que o motorista deveria estar é de $ 8,4 \times 10^{7} , \mathrm{m/s} $.