Ao cruzar um sinal vermelho, um motorista foi imediatamente parado por um policial. Ao justificar sua atitude errada, o motorista disse que por causa do efeito Doppler percebeu o sinal verde e não vermelho. Sabendo que as frequências das radiações monocromáticas vermelha e verde são, respectivamente, 4,5.10^17 Hz e 6,0 ^10 ^17 Hz, determine a velocidade que o motorista deveria estar para que sua justificativa pudesse ser verdadeira.
Considere a velocidade da luz igual a 3.10^8 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Um motorista cruzou o sinal vermelho, mas ele afirma que, por causa do Efeito Doppler, percebeu o sinal como verde. Nosso objetivo aqui é descobrir a velocidade que esse motorista deveria estar para que a mudança na frequência da luz, causada pelo Efeito Doppler, fizesse o sinal vermelho parecer verde.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Doppler Relativístico para luz, que nos ajuda a entender como a frequência da luz muda quando há movimento relativo entre a fonte da luz e o observador. As fórmulas e conceitos de física sobre ondas eletromagnéticas e relatividade vão ser bem úteis aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Efeito Doppler. Esse efeito ocorre quando há um movimento relativo entre a fonte de uma onda (como a luz) e o observador. Se a fonte e o observador estão se aproximando, a frequência percebida aumenta (deslocamento para o azul). Se estão se afastando, a frequência diminui (deslocamento para o vermelho).
No caso, o motorista estava se movendo em direção ao sinal. O sinal emitia luz vermelha com uma certa frequência, mas devido ao movimento, a frequência que ele percebeu aumentou, fazendo com que ele visse luz verde.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do Efeito Doppler Relativístico para luz. A fórmula é:
f' = f raiz1 + vc1 - vc
Onde:
  • $ f’ $ é a frequência observada (verde),
  • $ f $ é a frequência emitida (vermelha),
  • $ v $ é a velocidade do observador em relação à fonte,
  • $ c $ é a velocidade da luz.
Queremos encontrar $ v $, então vamos reorganizar a fórmula para isolar $ v $.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
  • Frequência vermelha $ f = 4,5 \times 10^{17} $ Hz,
  • Frequência verde $ f’ = 6,0 \times 10^{17} $ Hz,
  • Velocidade da luz $ c = 3 \times 10^8 $ m/s.
Substituindo na fórmula:
f = 4,5 times 10^17

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ 4,5 \times 10^{17} $:
4,5 times 10^17
Isso simplifica para:
6,0 times 10^174,5 times 10^17 = raiz1 + v3 times 10^81 - v3 times 10^8
64,5 = raiz1 + vc1 - vc

Passo 6

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(43)^2 = 1 + vc1 - vc
169 = 1 + vc1 - vc

Passo 7

Vamos multiplicar ambos os lados por $ 1 - \frac{v}{c} $ para eliminar o denominador:
1 - vc
Distribuindo o $ \frac{16}{9} $:
169 (1 - vc) = 1 + vc

Passo 8

Agora, vamos reunir os termos com $ v $ de um lado e os constantes do outro:
v
Calculando $ \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9} $:
169 - 1 = 16v9c + vc
169 - 1 = 79

Passo 9

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \frac{25}{9c} $:
259c
Substituindo $ c = 3 \times 10^8 $ m/s:
v = 725 c

Passo 10

Calculando o valor de $ v $:
v
v = 2125 times 10^8 = 0,84 times 10^8 m/s

Resposta

A velocidade que o motorista deveria estar é de $ 8,4 \times 10^{7} , \mathrm{m/s} $.

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