Cuál debe ser el diámetro de un alambre de hierro si ha de tener la misma resistência que un alambre de cobre de
de diámetro, siendo ambos alambres de la misma longitud.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de resistência elétrica! A gente quer descobrir qual deve ser o diâmetro de um fio de ferro para que ele tenha a mesma resistência que um fio de cobre com diâmetro de
, sabendo que ambos os fios têm o mesmo comprimento. Para isso, vamos usar a teoria de resistência elétrica e entender como o material e o diâmetro do fio influenciam nessa resistência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da resistência elétrica:
Onde:
- $ R $ é a resistência,
- $ \rho $ é a resistividade do material,
- $ L $ é o comprimento do fio,
- $ A $ é a área da seção transversal do fio.
Como queremos que as resistências dos dois fios sejam iguais ($ R_{ferro} = R_{cobre} $) e os comprimentos são iguais, podemos igualar as fórmulas:
Como $ L $ é igual nos dois, ele cancela da equação:
Passo 3
Vamos isolar a área da seção transversal do ferro ($ A_{ferro} $):
Agora, precisamos saber as resistividades dos materiais. Geralmente, os valores são:
- Resistividade do cobre ($ \rho_{cobre} $) ≈
- Resistividade do ferro ($ \rho_{ferro} $) ≈
Passo 4
Substituindo os valores das resistividades na equação:
Isso significa que a área da seção transversal do fio de ferro precisa ser aproximadamente 5,78 vezes maior que a do fio de cobre para ter a mesma resistência.
Passo 5
Sabendo que a área da seção transversal de um fio é dada por:
Podemos relacionar as áreas dos dois fios:
Substituindo $ A_{ferro} $ pela fórmula:
As $ \pi $ e $ 4 $ cancelam:
Passo 6
Agora, isolamos $ d_{ferro} $:
Sabendo que $ d_{cobre} = 1,19 , mm $:
Resposta
O diâmetro do fio de ferro deve ser aproximadamente
para ter a mesma resistência que um fio de cobre de
de diâmetro, mantendo o mesmo comprimento.