Cuál debe ser el diámetro de un alambre de hierro si ha de tener la misma resistência que un alambre de cobre de 1 ; 19 mm de diámetro, siendo ambos alambres de la misma longitud.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de resistência elétrica! A gente quer descobrir qual deve ser o diâmetro de um fio de ferro para que ele tenha a mesma resistência que um fio de cobre com diâmetro de 1,19 , mm, sabendo que ambos os fios têm o mesmo comprimento. Para isso, vamos usar a teoria de resistência elétrica e entender como o material e o diâmetro do fio influenciam nessa resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da resistência elétrica:
R = rho LA
Onde:
  • $ R $ é a resistência,
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L $ é o comprimento do fio,
  • $ A $ é a área da seção transversal do fio.
Como queremos que as resistências dos dois fios sejam iguais ($ R_{ferro} = R_{cobre} $) e os comprimentos são iguais, podemos igualar as fórmulas:
R
Como $ L $ é igual nos dois, ele cancela da equação:
rho

Passo 3

Vamos isolar a área da seção transversal do ferro ($ A_{ferro} $):
Aferro
Agora, precisamos saber as resistividades dos materiais. Geralmente, os valores são:
  • Resistividade do cobre ($ \rho_{cobre} $) ≈ Aferro = Acobre cdot rhoferrorhocobre
  • Resistividade do ferro ($ \rho_{ferro} $) ≈ rhocobre

Passo 4

Substituindo os valores das resistividades na equação:
Aferro = Acobre cdot 9,71 times 10^-81,68 times 10^-8 approx Acobre cdot 5,78
Isso significa que a área da seção transversal do fio de ferro precisa ser aproximadamente 5,78 vezes maior que a do fio de cobre para ter a mesma resistência.

Passo 5

Sabendo que a área da seção transversal de um fio é dada por:
A = pi ( d2 )^2 = pi d^24
Podemos relacionar as áreas dos dois fios:
Aferro = 5,78 cdot Acobre = 5,78 cdot pi dcobre^24
Substituindo $ A_{ferro} $ pela fórmula:
Aferro
As $ \pi $ e $ 4 $ cancelam:
pi dferro^24 = 5,78 cdot pi dcobre^24

Passo 6

Agora, isolamos $ d_{ferro} $:
dferro
Sabendo que $ d_{cobre} = 1,19 , mm $:
dferro = dcobre cdot raiz5,78

Resposta

O diâmetro do fio de ferro deve ser aproximadamente 2,86 , mm para ter a mesma resistência que um fio de cobre de 1,19 , mm de diâmetro, mantendo o mesmo comprimento.

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