a) Um cubo de alumínio de aresta
tem massa de
. Calcule sua densidade.
b) O mesmo cubo é pendurado em um dinamômetro, que marca
quando imerso em água. Calcule o empuxo e a densidade do cubo.
c) Usando o método de deslocamento de água, mediu-se que o cubo desloca
de água. Calcule novamente a densidade.
d) Compare os três métodos e indique qual oferece maior precisão e por quê.
b) O mesmo cubo é pendurado em um dinamômetro, que marca
c) Usando o método de deslocamento de água, mediu-se que o cubo desloca
d) Compare os três métodos e indique qual oferece maior precisão e por quê.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas; vou listar os dados e as perguntas de forma clara:
Dados fornecidos:
- Aresta do cubo:
. - Massa do cubo:
. - Leitura do dinamômetro quando o cubo está imerso em água:
. - Volume medido por deslocamento de água:
.
Perguntas:
a) Calcular a densidade do cubo usando a aresta e a massa.
b) Com a leitura do dinamômetro imerso: calcular o empuxo (força de Arquimedes) e a densidade do cubo (a partir dessa medição).
c) Calcular a densidade usando o volume medido por deslocamento de água.
d) Comparar os três métodos e dizer qual é mais preciso e por quê.
a) Calcular a densidade do cubo usando a aresta e a massa.
b) Com a leitura do dinamômetro imerso: calcular o empuxo (força de Arquimedes) e a densidade do cubo (a partir dessa medição).
c) Calcular a densidade usando o volume medido por deslocamento de água.
d) Comparar os três métodos e dizer qual é mais preciso e por quê.
Observação: vou usar
para passar de massa para peso (força). Não vou pedir nenhuma informação adicional; se algum número der lugar a inconsistência, vou explicar por que e o que isso implica.
Passo 2
Primeiro cálculo necessário: volume do cubo a partir da aresta. Explico o raciocínio e as conversões passo a passo.
Fórmula do volume de um cubo:
onde
é a aresta do cubo.
Conversões:
porque
. Em unidades de volume práticas de laboratório, é útil trabalhar em
(onde
).
Cálculo:
Explicação curta: medir uma aresta e elevar ao cubo dá o volume; para cubos essa é a forma mais direta e exata (desde que a medida da aresta seja precisa).
Passo 3
(a) Densidade usando massa e volume geométrico.
Definição de densidade:
onde
é a densidade,
a massa e
o volume.
Aqui
e
. Substituindo:
Também é comum expressar em
. Conversão:
, logo
Comentário didático: isso significa que cada litro (
) desse material teria massa
. Alumínio tem densidade típica cerca de
, portanto o resultado bate com esperado.
Passo 4
Antes de calcular o empuxo, preciso do peso (força gravitacional) do cubo em newtons.
Fórmula do peso:
onde
é a massa em kg e
a aceleração da gravidade.
Converter massa para
:
.
Calculemos:
Arredondando para as casas relevantes (os dados têm três algarismos significativos),
.
Explicação: o peso em newtons é a força que o cubo exerce na balança/dinamômetro quando está no ar.
Passo 5
(b) Cálculo do empuxo usando a leitura do dinamômetro com o cubo imerso em água.
Princípio usado (Arquimedes) e relação com o dinamômetro:
- Arquimedes diz que o empuxo
é igual ao peso do fluido deslocado:
- Quando um objeto é suspenso por um dinamômetro e imerso na água, o dinamômetro marca o peso aparente
. A relação é:
logo
Dados:
calculado no passo anterior e
(fornecido).
Calculemos
:
Interpretação física e didática: um empuxo negativo é fisicamente impossível — isso indica que a diferença entre
e
é menor que o erro/arrodomento das grandezas envolvidas. Aqui
e
são números muito próximos (ambos
), e o arredondamento aos três algarismos significativos faz a diferença virar ligeiramente negativa. Na prática isso significa que, dentro da resolução dos dados fornecidos, o empuxo medido é compatível com zero (ou melhor: com um valor muito pequeno e indistinguível do ruído/instrumental).
Conclusão numérica para o empuxo (reportando o valor calculado e a interpretação):
Agora, densidade a partir do empuxo: o procedimento correto seria primeiro obter o volume deslocado por
e depois
Mas com
negativo ou praticamente zero esse cálculo dá
ou um número com grande erro relativo — ou seja, impossível/sem sentido físico com os números dados. Portanto não é possível obter uma densidade física válida a partir do valor de dinamômetro informado (os dados são inconsistentes dentro da precisão dada).
Observação pedagógica curta: isso ilustra um ponto importante em experimentação — quando a densidade do objeto é muito maior que a da água, o empuxo (diferença de forças) é uma fração relativamente pequena do peso, então o método por dinamômetro exige muita precisão (pequena incerteza) no aparelho. Aqui a diferença esperada (para um alumínio típico) seria, de fato, não nula; mas os números dados (arredondados) apagaram a diferença.
Passo 6
Para ilustrar como seria com valores consistentes e para fechar o raciocínio (sem inventar dados do enunciado): se tivéssemos medido
corretamente e consistente, o procedimento seria:
- Calcular
. - Calcular
com . - Obter
.
Exemplo rápido (apenas para mostrar números consistentes, NÃO substituindo os dados do enunciado): se
tivesse sido
, então
e então
que coincide com (a) e (c). Isto mostra a consistência esperada quando os valores são medidos com precisão suficiente. Mas reforce: esse exemplo usou um
diferente do dado no enunciado; no enunciado, com
, o cálculo direto é inconsistente.
Passo 7
(c) Densidade usando o volume por deslocamento de água.
Já temos o volume por deslocamento informado:
.
Aplicando a fórmula da densidade:
Comentário: este resultado coincide com (a), como era de se esperar — o deslocamento de água mediu exatamente o volume geométrico do cubo (é um cubo regular).
Passo 8
(d) Comparação dos três métodos e indicação de maior precisão (com motivo), em linguagem simples.
-
Método (a): massa medida + cálculo do volume pela aresta.
- Vantagens: para um sólido regular (cubo) e quando se tem um paquímetro/micrômetro e balança analítica, este método é muito preciso. O volume é calculado por potenciação da aresta (
), então um pequeno erro na aresta é elevado ao cubo — atenção: isso aumenta erro relativo se a medição da aresta for ruim. Mas com instrumentos de boa resolução, o erro absoluto pode ser muito pequeno. - Fontes de erro: imprecisão na medição da aresta (e propagação cúbica), imprecisão na massa (balança).
- Vantagens: para um sólido regular (cubo) e quando se tem um paquímetro/micrômetro e balança analítica, este método é muito preciso. O volume é calculado por potenciação da aresta (
-
Método (b): dinamômetro (medir peso aparente imerso) — método por empuxo.
- Vantagens: direto para determinar volume (a partir do empuxo).
- Desvantagens importantes: depende da diferença entre duas forças semelhantes (
e ). Se o empuxo é uma fração relativamente pequena do peso (como aqui, para um metal mais denso que água), essa diferença tem sinalificação passível de grande erro relativo. Assim, ruído e arredondamento nos valores de e provocam grande incerteza no empuxo e, consequentemente, no volume e na densidade. No nosso caso concreto os números fornecidos são arredondados de modo que a diferença fica indistinguível de zero — mostrando que este método exige dinamômetro com resolução alta e cuidado experimental. Portanto, é o menos preciso dos três, a menos que se tenha equipamento muito sensível.
-
Método (c): deslocamento de água (medir o volume de água deslocada).
- Vantagens: é direto para o volume e funciona bem para corpos regulares ou irregulares; não envolve a diferença entre duas grandezas quase iguais. É geralmente muito bom para objetos que não absorvem água e quando o equipamento volumétrico tem resolução adequada (proveta, bureta, etc.).
- Desvantagens: precisão depende da exatidão na leitura de volume (menisco, gradações) e de cuidados para evitar bolhas e respingos. Para um cubo, se a aresta puder ser medida com alta precisão, o método (a) tende a ser tão bom ou melhor; se a medição da aresta for menos precisa, a medição por deslocamento pode ser mais confiável.
Conclusão prática (qual oferece maior precisão para este caso):
- Geralmente, para um cubo pequeno e se você tem um paquímetro/micrômetro e uma balança boa, o método (a) (massa + volume geométrico) oferece maior precisão.
- O método (c) (deslocamento) é muito confiável e serve como verificação independente; é tipicamente o segundo em precisão dependendo da qualidade da proveta.
- O método (b) (dinamômetro/empuxo) é o menos preciso aqui, porque requer detectar uma pequena diferença entre duas forças quase iguais; erros e arredondamentos facilmente destroem a acurácia — exatamente o que os números do enunciado mostraram (diferença indistinguível de zero).
Encorajamento final: seu resultado final (dados consistentes) foi
, que bate com o valor esperado de alumínio. Se você tiver que escolher um método para prova sem equipamentos de altíssima resolução, use massa+geometria para sólidos regulares, e use deslocamento quando o objeto for irregular.
Resposta
(a)
(b) (valor calculado; fisicamente indica que a diferença está dentro do erro/arredondamento, portanto
com os dados fornecidos). Densidade a partir desse dado não é possível de determinar de forma física (dados inconsistentes/insegurança experimental).
(c)
(d) Ordem de precisão (melhor → pior): (a) massa + volume geométrico (melhor, se a aresta for medida com instrumento preciso); (c) deslocamento de água (muito bom e serve de verificação); (b) dinamômetro/empuxo (pior neste caso), porque depende da diferença entre duas forças muito próximas e amplifica erros experimentais.
(b)
(c)
(d) Ordem de precisão (melhor → pior): (a) massa + volume geométrico (melhor, se a aresta for medida com instrumento preciso); (c) deslocamento de água (muito bom e serve de verificação); (b) dinamômetro/empuxo (pior neste caso), porque depende da diferença entre duas forças muito próximas e amplifica erros experimentais.