a) Um cubo de alumínio de aresta 20,0 \mathrm{~mm} tem massa de 21,6 \mathrm{~g}. Calcule sua densidade.
b) O mesmo cubo é pendurado em um dinamômetro, que marca 0,212 \mathrm{~N} quando imerso em água. Calcule o empuxo e a densidade do cubo.
c) Usando o método de deslocamento de água, mediu-se que o cubo desloca 8,00 \mathrm{~mL} de água. Calcule novamente a densidade.
d) Compare os três métodos e indique qual oferece maior precisão e por quê.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas; vou listar os dados e as perguntas de forma clara:
Dados fornecidos:
  • Aresta do cubo: \,20{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Massa do cubo: \,21{,}6\\ \mathrm{g}.
  • Leitura do dinamômetro quando o cubo está imerso em água: \,0{,}212\\ \mathrm{N}.
  • Volume medido por deslocamento de água: \,8{,}00\\ \mathrm{mL}.
Perguntas:
a) Calcular a densidade do cubo usando a aresta e a massa.
b) Com a leitura do dinamômetro imerso: calcular o empuxo (força de Arquimedes) e a densidade do cubo (a partir dessa medição).
c) Calcular a densidade usando o volume medido por deslocamento de água.
d) Comparar os três métodos e dizer qual é mais preciso e por quê.
Observação: vou usar g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} para passar de massa para peso (força). Não vou pedir nenhuma informação adicional; se algum número der lugar a inconsistência, vou explicar por que e o que isso implica.

Passo 2

Primeiro cálculo necessário: volume do cubo a partir da aresta. Explico o raciocínio e as conversões passo a passo.
Fórmula do volume de um cubo:
V = a^3,
onde \,a é a aresta do cubo.
Conversões: \,20{,}0\\ \mathrm{mm} = 2{,}00\\ \mathrm{cm} porque 1\\ \mathrm{cm}=10\\ \mathrm{mm}. Em unidades de volume práticas de laboratório, é útil trabalhar em \mathrm{cm^3} (onde 1\\ \mathrm{cm^3}=1\\ \mathrm{mL}).
Cálculo:
V = (2{,}00\\ \mathrm{cm})^3 = 8{,}00\\ \mathrm{cm^3} = 8{,}00\\ \mathrm{mL}.
Explicação curta: medir uma aresta e elevar ao cubo dá o volume; para cubos essa é a forma mais direta e exata (desde que a medida da aresta seja precisa).

Passo 3

(a) Densidade usando massa e volume geométrico.
Definição de densidade:
\rho = \frac{m}{V},
onde \rho é a densidade, m a massa e V o volume.
Aqui m=21{,}6\\ \mathrm{g} e V=8{,}00\\ \mathrm{cm^3}. Substituindo:
\rho = \frac{21{,}6\\ \mathrm{g}}{8{,}00\\ \mathrm{cm^3}} = 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3}.
Também é comum expressar em \mathrm{kg/m^3}. Conversão: 1\\ \mathrm{g/cm^3}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, logo
\rho = 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3} = 2700\\ \mathrm{kg/m^3}.
Comentário didático: isso significa que cada litro ( 1\\ \mathrm{dm^3}) desse material teria massa 2{,}70\\ \mathrm{kg}. Alumínio tem densidade típica cerca de 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3}, portanto o resultado bate com esperado.

Passo 4

Antes de calcular o empuxo, preciso do peso (força gravitacional) do cubo em newtons.
Fórmula do peso:
W = m g,
onde m é a massa em kg e g a aceleração da gravidade.
Converter massa para \mathrm{kg}: 21{,}6\\ \mathrm{g} = 0{,}0216\\ \mathrm{kg}.
Calculemos:
W = 0{,}0216\\ \mathrm{kg}\times 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} = 0{,}21168\\ \mathrm{N}.
Arredondando para as casas relevantes (os dados têm três algarismos significativos), W \approx 0{,}212\\ \mathrm{N}.
Explicação: o peso em newtons é a força que o cubo exerce na balança/dinamômetro quando está no ar.

Passo 5

(b) Cálculo do empuxo usando a leitura do dinamômetro com o cubo imerso em água.
Princípio usado (Arquimedes) e relação com o dinamômetro:
  • Arquimedes diz que o empuxo E é igual ao peso do fluido deslocado:
E = \rho_{\mathrm{água}}\,V_{\mathrm{deslocado}}\,g.á
  • Quando um objeto é suspenso por um dinamômetro e imerso na água, o dinamômetro marca o peso aparente W_{\mathrm{ap}}. A relação é:
W_{\mathrm{ap}} = W - E,
logo
E = W - W_{\mathrm{ap}}.
Dados: W calculado no passo anterior e W_{\mathrm{ap}}=0{,}212\\ \mathrm{N} (fornecido).
Calculemos E:
E = 0{,}21168\\ \mathrm{N} - 0{,}212\\ \mathrm{N} = -0{,}00032\\ \mathrm{N}.
Interpretação física e didática: um empuxo negativo é fisicamente impossível — isso indica que a diferença entre W e W_{\mathrm{ap}} é menor que o erro/arrodomento das grandezas envolvidas. Aqui W e W_{\mathrm{ap}} são números muito próximos (ambos \approx 0{,}212\\ \mathrm{N}), e o arredondamento aos três algarismos significativos faz a diferença virar ligeiramente negativa. Na prática isso significa que, dentro da resolução dos dados fornecidos, o empuxo medido é compatível com zero (ou melhor: com um valor muito pequeno e indistinguível do ruído/instrumental).
Conclusão numérica para o empuxo (reportando o valor calculado e a interpretação):
E = -3{,}2\times 10^{-4}\\ \mathrm{N}\quad(\text{valor calculado; fisicamente }E\approx 0\\ \mathrm{N}\\ \text{dada a incerteza}).
Agora, densidade a partir do empuxo: o procedimento correto seria primeiro obter o volume deslocado por
V = \frac{E}{\rho_{\mathrm{água}}\,g}á
e depois
\rho_{\mathrm{obj}} = \frac{m}{V}.
Mas com E negativo ou praticamente zero esse cálculo dá V\le 0 ou um número com grande erro relativo — ou seja, impossível/sem sentido físico com os números dados. Portanto não é possível obter uma densidade física válida a partir do valor de dinamômetro informado (os dados são inconsistentes dentro da precisão dada).
Observação pedagógica curta: isso ilustra um ponto importante em experimentação — quando a densidade do objeto é muito maior que a da água, o empuxo (diferença de forças) é uma fração relativamente pequena do peso, então o método por dinamômetro exige muita precisão (pequena incerteza) no aparelho. Aqui a diferença esperada (para um alumínio típico) seria, de fato, não nula; mas os números dados (arredondados) apagaram a diferença.

Passo 6

Para ilustrar como seria com valores consistentes e para fechar o raciocínio (sem inventar dados do enunciado): se tivéssemos medido W_{\mathrm{ap}} corretamente e consistente, o procedimento seria:
  1. Calcular E = W - W_{\mathrm{ap}}.
  2. Calcular V = E/(\rho_{\mathrm{água}} g)á com \rho_{\mathrm{água}}=1{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3}á.
  3. Obter \rho_{\mathrm{obj}} = m/V.
Exemplo rápido (apenas para mostrar números consistentes, NÃO substituindo os dados do enunciado): se W_{\mathrm{ap}} tivesse sido 0{,}13328\\ \mathrm{N}, então
E = 0{,}21168-0{,}13328 = 0{,}0784\\ \mathrm{N},
V = \frac{0{,}0784}{1000\cdot 9{,}80} = 8{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3} = 8{,}00\\ \mathrm{cm^3},
e então
\rho_{\mathrm{obj}} = \frac{0{,}0216}{8{,}00\times 10^{-6}} = 2700\\ \mathrm{kg/m^3} = 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3},
que coincide com (a) e (c). Isto mostra a consistência esperada quando os valores são medidos com precisão suficiente. Mas reforce: esse exemplo usou um W_{\mathrm{ap}} diferente do dado no enunciado; no enunciado, com W_{\mathrm{ap}}=0{,}212\\ \mathrm{N}, o cálculo direto é inconsistente.

Passo 7

(c) Densidade usando o volume por deslocamento de água.
Já temos o volume por deslocamento informado: V=8{,}00\\ \mathrm{mL}=8{,}00\\ \mathrm{cm^3}.
Aplicando a fórmula da densidade:
\rho = \frac{m}{V} = \frac{21{,}6\\ \mathrm{g}}{8{,}00\\ \mathrm{cm^3}} = 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3}.
Comentário: este resultado coincide com (a), como era de se esperar — o deslocamento de água mediu exatamente o volume geométrico do cubo (é um cubo regular).

Passo 8

(d) Comparação dos três métodos e indicação de maior precisão (com motivo), em linguagem simples.
  • Método (a): massa medida + cálculo do volume pela aresta.
    • Vantagens: para um sólido regular (cubo) e quando se tem um paquímetro/micrômetro e balança analítica, este método é muito preciso. O volume é calculado por potenciação da aresta ( V=a^3), então um pequeno erro na aresta é elevado ao cubo — atenção: isso aumenta erro relativo se a medição da aresta for ruim. Mas com instrumentos de boa resolução, o erro absoluto pode ser muito pequeno.
    • Fontes de erro: imprecisão na medição da aresta (e propagação cúbica), imprecisão na massa (balança).
  • Método (b): dinamômetro (medir peso aparente imerso) — método por empuxo.
    • Vantagens: direto para determinar volume (a partir do empuxo).
    • Desvantagens importantes: depende da diferença entre duas forças semelhantes ( W e W_{\mathrm{ap}}). Se o empuxo é uma fração relativamente pequena do peso (como aqui, para um metal mais denso que água), essa diferença tem sinalificação passível de grande erro relativo. Assim, ruído e arredondamento nos valores de W e W_{\mathrm{ap}} provocam grande incerteza no empuxo e, consequentemente, no volume e na densidade. No nosso caso concreto os números fornecidos são arredondados de modo que a diferença fica indistinguível de zero — mostrando que este método exige dinamômetro com resolução alta e cuidado experimental. Portanto, é o menos preciso dos três, a menos que se tenha equipamento muito sensível.
  • Método (c): deslocamento de água (medir o volume de água deslocada).
    • Vantagens: é direto para o volume e funciona bem para corpos regulares ou irregulares; não envolve a diferença entre duas grandezas quase iguais. É geralmente muito bom para objetos que não absorvem água e quando o equipamento volumétrico tem resolução adequada (proveta, bureta, etc.).
    • Desvantagens: precisão depende da exatidão na leitura de volume (menisco, gradações) e de cuidados para evitar bolhas e respingos. Para um cubo, se a aresta puder ser medida com alta precisão, o método (a) tende a ser tão bom ou melhor; se a medição da aresta for menos precisa, a medição por deslocamento pode ser mais confiável.
Conclusão prática (qual oferece maior precisão para este caso):
  • Geralmente, para um cubo pequeno e se você tem um paquímetro/micrômetro e uma balança boa, o método (a) (massa + volume geométrico) oferece maior precisão.
  • O método (c) (deslocamento) é muito confiável e serve como verificação independente; é tipicamente o segundo em precisão dependendo da qualidade da proveta.
  • O método (b) (dinamômetro/empuxo) é o menos preciso aqui, porque requer detectar uma pequena diferença entre duas forças quase iguais; erros e arredondamentos facilmente destroem a acurácia — exatamente o que os números do enunciado mostraram (diferença indistinguível de zero).
Encorajamento final: seu resultado final (dados consistentes) foi \rho=2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3}, que bate com o valor esperado de alumínio. Se você tiver que escolher um método para prova sem equipamentos de altíssima resolução, use massa+geometria para sólidos regulares, e use deslocamento quando o objeto for irregular.

Resposta

(a) \rho = 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3} = 2700\\ \mathrm{kg/m^3}.
(b) E = -3{,}2\times 10^{-4}\\ \mathrm{N} (valor calculado; fisicamente indica que a diferença está dentro do erro/arredondamento, portanto E\approx 0\\ \mathrm{N} com os dados fornecidos). Densidade a partir desse dado não é possível de determinar de forma física (dados inconsistentes/insegurança experimental).
(c) \rho = 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^3}.
(d) Ordem de precisão (melhor → pior): (a) massa + volume geométrico (melhor, se a aresta for medida com instrumento preciso); (c) deslocamento de água (muito bom e serve de verificação); (b) dinamômetro/empuxo (pior neste caso), porque depende da diferença entre duas forças muito próximas e amplifica erros experimentais.

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