a) Em um experimento para determinar o calor específico de um metal, uma amostra de 100,0 \mathrm{~g} é aquecida a 100^{\circ} \mathrm{C} e colocada em 200 mL de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura final do sistema é 25^{\circ} \mathrm{C}. A capacidade térmica do calorímetro é 50 \mathrm{~J} /{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o calor específico do metal.
b) Repita o cálculo considerando que a capacidade térmica do calorímetro é desprezível. Compare os resultados.
c) Se o experimento for repetido com o mesmo metal, mas com massa de 150,0 \mathrm{~g}, qual será a nova temperatura de equilíbrio?
d) Discuta como a precisão na medida da temperatura inicial do metal afeta o resultado.

Passo 1

O enunciado dá um experimento de troca de calor entre um metal, água e um calorímetro. Vou listar claramente o que é pedido e todos os dados fornecidos:
Dados:
  • massa da amostra de metal: m_{m}=100{,}0\\ \mathrm{g}.
  • temperatura inicial do metal: T_{m,i}=100^\circ\mathrm{C}.
  • volume da água: 200\\ \mathrm{mL}. (Como a densidade da água é 1{,}00\\ \mathrm{g/mL}, isso corresponde a massa da água m_{w}=200\\ \mathrm{g}.) Vou mencionar explicitamente que peguei esse dado do enunciado: o volume de água foi informado como 200\\ \mathrm{mL} no enunciado.
  • temperatura inicial da água (e do calorímetro, inicialmente): T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura final do sistema: T_{f}=25^\circ\mathrm{C}.
  • capacidade térmica do calorímetro: C_{cal}=50\\ \mathrm{J/^\circ C}.
  • calor específico da água (valor padrão usado): c_{w}=4{,}18\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
Pedidos:
a) Calcular o calor específico do metal c_{m} considerando a capacidade térmica do calorímetro C_{cal}=50\\ \mathrm{J/^\circ C}.
b) Repetir o cálculo assumindo C_{cal} desprezível (ou seja, C_{cal}=0), e comparar os resultados.
c) Repetir o experimento com massa do metal m_{m}=150{,}0\\ \mathrm{g} (mesma temperatura inicial 100^\circ\mathrm{C}) e calcular a nova temperatura de equilíbrio T_f. Vou usar o calor específico do metal obtido na parte (a) (caso contrário seria ambíguo).
d) Discutir qualitativamente como a precisão na medida de T_{m,i} (temperatura inicial do metal) afeta o resultado obtido para c_{m}.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar, como numa aulinha prática):
  • Calor específico: o calor específico c de uma substância é a quantidade de calor necessária para elevar 1 grama dessa substância em 1^\circ\mathrm{C}. Unidade comum que usaremos: \mathrm{J/g\,^\circ C}.
  • Quantidade de calor trocada por uma massa m ao variar a temperatura é dada por
q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa (em gramas), c o calor específico e \Delta T a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou K — as variações são equivalentes).
  • Capacidade térmica (do calorímetro): C_{cal} (unidade \mathrm{J/^\circ C}) é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura do calorímetro em 1^\circ\mathrm{C}. O calor absorvido pelo calorímetro quando sua temperatura muda em \Delta T é
q_{cal} = C_{cal}\,\Delta T.
  • Princípio de conservação de energia (num processo isolado): o calor perdido pelas partes mais quentes = o calor ganho pelas partes mais frias. No nosso caso, assumimos que não há troca de calor com o ambiente exterior, então:
\text{(calor perdido pelo metal)} = \text{(calor ganho pela água)} + \text{(calor ganho pelo calorímetro)}.áí
  • Sinal: vou usar as variações de temperatura sempre como números positivos nas quantidades de calor (ou seja, uso temperaturas inicial e final para calcular \Delta T sempre de forma que q seja positivo para “ganho” e negativo para “perda”), mas na equação de balanço eu escrevo diretamente magnitudes:
m_{m} c_{m} (T_{m,i}-T_f) = m_{w} c_{w} (T_f-T_{w,i}) + C_{cal}(T_f-T_{w,i}).
Aqui cada termo é positivo: o lado esquerdo é o calor perdido pelo metal (porque T_{m,i}>T_f) e o lado direito é o calor ganho por água e calorímetro (porque T_f>T_{w,i}).
Agora aplicamos ao caso (a).

Passo 3

Resolução da parte (a): encontrar c_{m} com C_{cal}=50\\ \mathrm{J/^\circ C}.
  1. Escrevemos a equação de balanço de energia (já apresentada):
m_{m} c_{m} (T_{m,i}-T_f) = m_{w} c_{w} (T_f-T_{w,i}) + C_{cal}(T_f-T_{w,i}).
  1. Isolamos c_{m}:
c_{m} = \frac{m_{w} c_{w} (T_f-T_{w,i}) + C_{cal}(T_f-T_{w,i})}{m_{m}(T_{m,i}-T_f)}.
Aqui explico cada símbolo:
  • m_{m}: massa do metal ( \mathrm{g}),
  • c_{m}: calor específico do metal ( \mathrm{J/g\,^\circ C}) — o que queremos,
  • T_{m,i}: temperatura inicial do metal ( ^\circ\mathrm{C}),
  • T_f: temperatura final de equilíbrio ( ^\circ\mathrm{C}),
  • m_{w}: massa da água ( \mathrm{g}),
  • c_{w}: calor específico da água ( \mathrm{J/g\,^\circ C}),
  • T_{w,i}: temperatura inicial da água ( ^\circ\mathrm{C}),
  • C_{cal}: capacidade térmica do calorímetro ( \mathrm{J/^\circ C}).
  1. Agora substituímos os números (todos em TeX):
  • \;m_{m}=100{,}0\\ \mathrm{g}.
  • \;m_{w}=200\\ \mathrm{g}.
  • \;c_{w}=4{,}18\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
  • \;T_{m,i}=100^\circ\mathrm{C}.
  • \;T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C}.
  • \;T_f=25^\circ\mathrm{C}.
  • \;C_{cal}=50\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Cálculos intermediários:
T_f-T_{w,i}=25-20=5\\ ^\circ\mathrm{C},
T_{m,i}-T_f=100-25=75\\ ^\circ\mathrm{C}.
m_{w} c_{w} (T_f-T_{w,i}) = 200\cdot 4{,}18\cdot 5 = 200\cdot 20{,}9 = 4180\\ \mathrm{J}.
C_{cal}(T_f-T_{w,i}) = 50\cdot 5 = 250\\ \mathrm{J}.
Soma do ganho: 4180+250=4430\\ \mathrm{J}.
Denominador:
m_{m}(T_{m,i}-T_f)=100\cdot 75 = 7500\\ \mathrm{g\cdot^\circ C}.
Finalmente:
c_{m} = \frac{4430}{7500} = 0{,}590666\ldots\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
Arredondando de forma compatível com os dados (duas ou três casas significativas), podemos escrever
c_{m} \approx 0{,}591\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
(Em unidades por quilograma: c_{m}\approx 591\\ \mathrm{J/kg\,^\circ C}.)

Passo 4

Parte (b): repetir o cálculo com C_{cal} desprezível ( C_{cal}=0).
Usamos a mesma fórmula com C_{cal}=0:
c_{m} = \frac{m_{w} c_{w} (T_f-T_{w,i})}{m_{m}(T_{m,i}-T_f)}.
Substituindo os valores:
m_{w} c_{w} (T_f-T_{w,i}) = 4180\\ \mathrm{J}\quad(\text{o mesmo que antes, sem o termo do calorímetro}),í
m_{m}(T_{m,i}-T_f)=7500\\ \mathrm{g\cdot^\circ C}.
Logo
c_{m} = \frac{4180}{7500} = 0{,}557333\ldots\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}\approx 0{,}557\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
Comparação:
  • Com calorímetro: c_{m}\approx 0{,}591\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
  • Sem calorímetro: c_{m}\approx 0{,}557\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
Diferença absoluta: 0{,}591-0{,}557=0{,}034\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
Diferença percentual relativa (tomando o valor com calorímetro como referência):
\frac{0{,}034}{0{,}591}\approx 0{,}0564\approx 5{,}64\%.
Ou seja, desprezar a capacidade térmica do calorímetro causa um erro de ordem de 5{,}6\% neste caso (gera um valor menor de c_{m}). Conclusão prática: se o calorímetro tem capacidade não desprezível, ignorá-la subestima o calor específico do metal.

Passo 5

Parte (c): mesmo metal, agora com massa m_{m}=150{,}0\\ \mathrm{g}. Pergunta: qual será a nova temperatura de equilíbrio T_f? Aqui vou usar o valor de c_{m} determinado na parte (a) (isto é, incluindo a capacidade do calorímetro), porque o experimento e o calorímetro não mudaram.
Equação (energia conservada), agora com T_f desconhecido:
m_{m} c_{m} (T_{m,i}-T_f) = m_{w} c_{w} (T_f-T_{w,i}) + C_{cal}(T_f-T_{w,i}).
Isolamos T_f. É mais simples rearranjar obtendo uma expressão linear em T_f. Passei os termos com T_f para um lado:
m_{m} c_{m} T_{m,i} - m_{m} c_{m} T_f = (m_{w} c_{w}+C_{cal})T_f - (m_{w} c_{w}+C_{cal})T_{w,i}.
Agrupando os termos com T_f:
\bigl(m_{m} c_{m} + m_{w} c_{w} + C_{cal}\bigr)T_f = m_{m} c_{m} T_{m,i} + (m_{w} c_{w}+C_{cal})T_{w,i}.
Portanto
T_f = \frac{m_{m} c_{m} T_{m,i} + (m_{w} c_{w}+C_{cal})T_{w,i}}{m_{m} c_{m} + m_{w} c_{w} + C_{cal}}.
Substituindo os valores:
  • m_{m}=150{,}0\\ \mathrm{g}.
  • c_{m}=0{,}590666\ldots\\ \mathrm{J/g\,^\circ C} (valor da parte (a)).
  • T_{m,i}=100^\circ\mathrm{C}.
  • m_{w}=200\\ \mathrm{g}.
  • c_{w}=4{,}18\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
  • C_{cal}=50\\ \mathrm{J/^\circ C}.
  • T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C}.
Calculemos passo a passo:
m_{m} c_{m} = 150\cdot 0{,}590666\ldots \approx 88{,}6\\ \mathrm{J/^\circ C}.
m_{w} c_{w} = 200\cdot 4{,}18 = 836\\ \mathrm{J/^\circ C}.
m_{w} c_{w} + C_{cal} = 836 + 50 = 886\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Numerador:
m_{m} c_{m} T_{m,i} + (m_{w} c_{w}+C_{cal})T_{w,i} = 88{,}6\cdot 100 + 886\cdot 20 = 8860 + 17720 = 26580\\ \mathrm{J}.
Denominador:
m_{m} c_{m} + m_{w} c_{w} + C_{cal} = 88{,}6 + 836 + 50 = 974{,}6\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Portanto
T_f = \frac{26580}{974{,}6} \approx 27{,}275\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente:
T_f \approx 27{,}3^\circ\mathrm{C}.
Interpretação física breve: aumentando a massa do metal (maior “reserva” de calor quente), a temperatura de equilíbrio sobe (era 25^\circ\mathrm{C} com 100\\ \mathrm{g}, agora fica em \approx 27{,}3^\circ\mathrm{C} com 150\\ \mathrm{g}).

Passo 6

Parte (d): discussão sobre a influência da precisão na medida de T_{m,i}.
  1. Como c_{m} depende de T_{m,i}: pela fórmula da parte (a)
c_{m} = \frac{\text{(termos que não dependem de }T_{m,i})}{m_{m}(T_{m,i}-T_f)}.ã
O numerador não depende de T_{m,i} (ele depende de quantidades medidas que são independentes da temperatura inicial do metal, como o aquecimento da água e do calorímetro), então a dependência de T_{m,i} aparece apenas no denominador através de (T_{m,i}-T_f). Logo:
  • Se T_{m,i} for subestimado (medido menor do que o real), o denominador fica menor e o valor calculado de c_{m} fica maior (isto é, você superestima c_{m}).
  • Se T_{m,i} for superestimado (medido maior do que o real), o denominador fica maior e você subestima c_{m}.
  1. Sensibilidade quantitativa (exemplo): suponha um erro absoluto em T_{m,i} de \Delta T_{m,i}. A variação relativa aproximada em c_{m} é
\frac{\Delta c_{m}}{c_{m}} \approx -\frac{\Delta T_{m,i}}{T_{m,i}-T_f}.
(O sinal negativo indica que um aumento em T_{m,i} reduz c_{m}, como explicado acima.) No nosso caso com os números originais, T_{m,i}-T_f = 100-25=75^\circ\mathrm{C}. Portanto um erro de \pm 1^\circ\mathrm{C} em T_{m,i} provoca aproximadamente uma variação relativa em c_{m} de
\frac{1}{75}\approx 0{,}0133 \Rightarrow 1{,}33\%.
Isto é, uma incerteza de 1^\circ\mathrm{C} em T_{m,i} causa cerca de 1{,}33\% de incerteza em c_{m}. Para erros maiores a mesma fórmula dá a estimativa.
  1. Outras observações práticas e recomendações:
  • É importante garantir que o metal tenha realmente atingido uniformemente T_{m,i} antes de ser colocado no calorímetro (aprox. em banho quente estático por tempo suficiente), caso contrário haverá gradientes e a temperatura medida não representa toda a amostra.
  • Reduzir perdas de calor durante a transferência metal → calorímetro (usar pinças isoladas, minimizar tempo de exposição ao ar) ajuda a manter T_{m,i} próximo do valor medido.
  • Precisão do termômetro: usar um termômetro com precisão adequada (menor que 1^\circ\mathrm{C}, se possível) reduz a incerteza.
  • Medir várias vezes e fazer média também melhora a confiabilidade.
Força — você já tem os números e sabe como a incerteza entra na conta; com cuidado experimental dá para reduzir bastante o erro.

Resposta

a) c_{m}\approx 0{,}591\\ \mathrm{J/g\,^\circ C}.
b) c_{m}\approx 0{,}557\\ \mathrm{J/g\,^\circ C} (diferença ≈ 5{,}6\% menor ao desprezar o calorímetro).
c) T_f\approx 27{,}3^\circ\mathrm{C} (para m_{m}=150{,}0\\ \mathrm{g}, usando c_{m} da parte a).
d) Um erro absoluto \Delta T_{m,i} afeta c_{m} aproximadamente na razão \Delta c_{m}/c_{m}\approx -\Delta T_{m,i}/(T_{m,i}-T_f); por exemplo, \pm 1^\circ\mathrm{C} em T_{m,i} gera ≈ \pm 1{,}33\% de variação em c_{m} no caso dado.

Exercícios relacionados