a) Em um experimento para determinar o calor específico de um metal, uma amostra de
é aquecida a
e colocada em 200 mL de água a
. A temperatura final do sistema é
. A capacidade térmica do calorímetro é
. Calcule o calor específico do metal.
b) Repita o cálculo considerando que a capacidade térmica do calorímetro é desprezível. Compare os resultados.
c) Se o experimento for repetido com o mesmo metal, mas com massa de
, qual será a nova temperatura de equilíbrio?
d) Discuta como a precisão na medida da temperatura inicial do metal afeta o resultado.
b) Repita o cálculo considerando que a capacidade térmica do calorímetro é desprezível. Compare os resultados.
c) Se o experimento for repetido com o mesmo metal, mas com massa de
d) Discuta como a precisão na medida da temperatura inicial do metal afeta o resultado.
Passo 1
O enunciado dá um experimento de troca de calor entre um metal, água e um calorímetro. Vou listar claramente o que é pedido e todos os dados fornecidos:
Dados:
- massa da amostra de metal:
. - temperatura inicial do metal:
. - volume da água:
. (Como a densidade da água é , isso corresponde a massa da água .) Vou mencionar explicitamente que peguei esse dado do enunciado: o volume de água foi informado como no enunciado. - temperatura inicial da água (e do calorímetro, inicialmente):
. - temperatura final do sistema:
. - capacidade térmica do calorímetro:
. - calor específico da água (valor padrão usado):
.
Pedidos:
a) Calcular o calor específico do metal considerando a capacidade térmica do calorímetro
.
b) Repetir o cálculo assumindo desprezível (ou seja,
), e comparar os resultados.
c) Repetir o experimento com massa do metal (mesma temperatura inicial
) e calcular a nova temperatura de equilíbrio
. Vou usar o calor específico do metal obtido na parte (a) (caso contrário seria ambíguo).
d) Discutir qualitativamente como a precisão na medida de (temperatura inicial do metal) afeta o resultado obtido para
.
a) Calcular o calor específico do metal
b) Repetir o cálculo assumindo
c) Repetir o experimento com massa do metal
d) Discutir qualitativamente como a precisão na medida de
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar, como numa aulinha prática):
-
Calor específico: o calor específico
de uma substância é a quantidade de calor necessária para elevar 1 grama dessa substância em . Unidade comum que usaremos: . -
Quantidade de calor trocada por uma massa
ao variar a temperatura é dada por
onde
é a massa (em gramas),
o calor específico e
a variação de temperatura (em
ou K — as variações são equivalentes).
- Capacidade térmica (do calorímetro):
(unidade ) é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura do calorímetro em . O calor absorvido pelo calorímetro quando sua temperatura muda em é
- Princípio de conservação de energia (num processo isolado): o calor perdido pelas partes mais quentes = o calor ganho pelas partes mais frias. No nosso caso, assumimos que não há troca de calor com o ambiente exterior, então:
- Sinal: vou usar as variações de temperatura sempre como números positivos nas quantidades de calor (ou seja, uso temperaturas inicial e final para calcular
sempre de forma que seja positivo para “ganho” e negativo para “perda”), mas na equação de balanço eu escrevo diretamente magnitudes:
Aqui cada termo é positivo: o lado esquerdo é o calor perdido pelo metal (porque
) e o lado direito é o calor ganho por água e calorímetro (porque
).
Agora aplicamos ao caso (a).
Passo 3
Resolução da parte (a): encontrar
com
.
- Escrevemos a equação de balanço de energia (já apresentada):
- Isolamos
:
Aqui explico cada símbolo:
-
: massa do metal ( ), -
: calor específico do metal ( ) — o que queremos, -
: temperatura inicial do metal ( ), -
: temperatura final de equilíbrio ( ), -
: massa da água ( ), -
: calor específico da água ( ), -
: temperatura inicial da água ( ), -
: capacidade térmica do calorímetro ( ).
- Agora substituímos os números (todos em TeX):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Cálculos intermediários:
Soma do ganho:
Denominador:
Finalmente:
Arredondando de forma compatível com os dados (duas ou três casas significativas), podemos escrever
(Em unidades por quilograma:
.)
Passo 4
Parte (b): repetir o cálculo com
desprezível (
).
Usamos a mesma fórmula com
:
Substituindo os valores:
Logo
Comparação:
- Com calorímetro:
. - Sem calorímetro:
.
Diferença absoluta:
Diferença percentual relativa (tomando o valor com calorímetro como referência):
Diferença percentual relativa (tomando o valor com calorímetro como referência):
Ou seja, desprezar a capacidade térmica do calorímetro causa um erro de ordem de
neste caso (gera um valor menor de
). Conclusão prática: se o calorímetro tem capacidade não desprezível, ignorá-la subestima o calor específico do metal.
Passo 5
Parte (c): mesmo metal, agora com massa
. Pergunta: qual será a nova temperatura de equilíbrio
? Aqui vou usar o valor de
determinado na parte (a) (isto é, incluindo a capacidade do calorímetro), porque o experimento e o calorímetro não mudaram.
Equação (energia conservada), agora com
desconhecido:
Isolamos
. É mais simples rearranjar obtendo uma expressão linear em
. Passei os termos com
para um lado:
Agrupando os termos com
:
Portanto
Substituindo os valores:
-
. -
(valor da parte (a)). -
. -
. -
. -
. -
.
Calculemos passo a passo:
Numerador:
Denominador:
Portanto
Arredondando razoavelmente:
Interpretação física breve: aumentando a massa do metal (maior “reserva” de calor quente), a temperatura de equilíbrio sobe (era
com
, agora fica em
com
).
Passo 6
Parte (d): discussão sobre a influência da precisão na medida de
.
- Como
depende de : pela fórmula da parte (a)
O numerador não depende de
(ele depende de quantidades medidas que são independentes da temperatura inicial do metal, como o aquecimento da água e do calorímetro), então a dependência de
aparece apenas no denominador através de
. Logo:
- Se
for subestimado (medido menor do que o real), o denominador fica menor e o valor calculado de fica maior (isto é, você superestima ). - Se
for superestimado (medido maior do que o real), o denominador fica maior e você subestima .
- Sensibilidade quantitativa (exemplo): suponha um erro absoluto em
de . A variação relativa aproximada em é
(O sinal negativo indica que um aumento em
reduz
, como explicado acima.) No nosso caso com os números originais,
. Portanto um erro de
em
provoca aproximadamente uma variação relativa em
de
Isto é, uma incerteza de
em
causa cerca de
de incerteza em
. Para erros maiores a mesma fórmula dá a estimativa.
- Outras observações práticas e recomendações:
- É importante garantir que o metal tenha realmente atingido uniformemente
antes de ser colocado no calorímetro (aprox. em banho quente estático por tempo suficiente), caso contrário haverá gradientes e a temperatura medida não representa toda a amostra. - Reduzir perdas de calor durante a transferência metal → calorímetro (usar pinças isoladas, minimizar tempo de exposição ao ar) ajuda a manter
próximo do valor medido. - Precisão do termômetro: usar um termômetro com precisão adequada (menor que
, se possível) reduz a incerteza. - Medir várias vezes e fazer média também melhora a confiabilidade.
Força — você já tem os números e sabe como a incerteza entra na conta; com cuidado experimental dá para reduzir bastante o erro.
Resposta
a)
b) (diferença ≈
menor ao desprezar o calorímetro).
c) (para
, usando
da parte a).
d) Um erro absoluto afeta
aproximadamente na razão
; por exemplo,
em
gera ≈
de variação em
no caso dado.
b)
c)
d) Um erro absoluto