a) Em um experimento, uma resistência elétrica de 20 \Omega é ligada a uma fonte de 20 V por 5 minutos, aquecendo 0,3 \mathrm{~kg} de água. A temperatura da água aumenta linearmente com o tempo, indo de 20^{\circ} \mathrm{C} para 40^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o equivalente mecânico de calor J, sabendo que:
J=\frac{V \cdot I \cdot t}{Q}, \text { onde } Q=m \cdot c \cdot \Delta T
b) Repita o cálculo para uma tensão de 15 V e corrente de 0,7 \mathrm{~A}, com o mesmo tempo e mesma massa de água.
c) Construa um gráfico de T \times t para os dois casos e calcule a taxa de aquecimento q_{H} para cada um.
d) Compare o valor médio de J obtido com o valor teórico (4,186 \mathrm{~J} / \mathrm{cal}) e discuta as discrepâncias.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vamos organizar direitinho o que foi dado e o que é pedido para não nos perder.
Dados do experimento (extraídos do enunciado):
R=20\\ \Omega,\quad V_1=20\\ \text{V},\quad t=5\\ \text{min}=300\\ \text{s},
m=0{,}3\\ \text{kg}=300\\ \text{g},\quad T_{\text{inicial}}=20^\circ\text{C},\quad T_{\text{final}}=40^\circ\text{C}.
Do enunciado também temos um segundo caso com:
V_2=15\\ \text{V},\quad I_2=0{,}7\\ \text{A},\quad t=300\\ \text{s},\quad m=300\\ \text{g}.
Informação usada para calor da água (convencional em calorias): para a água usaremos
c=1\\ \text{cal}\cdot\text{g}^{-1}\cdot^\circ\text{C}^{-1},
o que é equivalente a 4186\\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot^\circ\text{C}^{-1}.
O enunciado fornece a fórmula a ser usada:
J=\frac{V\cdot I\cdot t}{Q},\qquad Q=m\cdot c\cdot\Delta T.
Perguntas pedidas:
a) Calcular J para o primeiro caso ( V_1=20 V, resistor 20\\ \Omega, aumento de 20^\circC).
b) Repetir o cálculo para V_2=15 V e I_2=0{,}7 A (mesmo t e m).
c) Construir o gráfico T\times t para os dois casos e calcular a taxa de aquecimento q_H para cada um.
d) Comparar o valor médio de J obtido com o valor teórico 4{,}186\\ \text{J}/\text{cal} e discutir discrepâncias.

Passo 2

Vamos explicar a física e as fórmulas que vamos usar — passo a passo didático, como você pediu.
  • Energia elétrica fornecida em um intervalo de tempo t: a potência elétrica instantânea é P=V\cdot I. A energia elétrica total fornecida em tempo t é
E_{\text{el}} = P\cdot t = V\cdot I\cdot t.
Aqui V é a tensão em volts, I a corrente em ampères e t o tempo em segundos; o produto tem unidade de joules (\text{J}).
  • Calor recebido pela água: a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma massa m de água por \Delta T é
Q = m\cdot c\cdot\Delta T.
Aqui m deve estar nas unidades compatíveis com c. Como vamos usar c=1\\ \text{cal}\cdot\text{g}^{-1}\cdot^\circ\text{C}^{-1}, é conveniente usar m em gramas e Q sairá em calorias.
  • Equivalente mecânico do calor J: é a razão entre a energia elétrica (em joules) fornecida e o calor medido (em calorias):
J=\frac{E_{\text{el}}}{Q}=\frac{V\cdot I\cdot t}{m\cdot c\cdot\Delta T}.
Se Q estiver em calorias e E_{\text{el}} em joules, J terá unidade \text{J}/\text{cal}. Esse é exatamente o que o enunciado pede.
Observação prática importante (didática): sempre verifique as unidades. Aqui converti m=0{,}3\\ \text{kg}=300\\ \text{g} porque usei c em \text{cal}/(\text{g}\cdot^\circ\text{C}).

Passo 3

Calculando as quantidades para o caso (a) — mostro cada conta explicada e “mastigada”.
  1. Corrente elétrica no circuito: pelo resistor de R=20\\ \Omega com V_1=20\\ \text{V},
I_1=\frac{V_1}{R}=\frac{20}{20}=1{,}0\\ \text{A}.
Explanação: Lei de Ohm V=R I. Se V e R são conhecidos, I=V/R.
2) Energia elétrica fornecida em t=300\\ \text{s}:
E_{\text{el},1}=V_1\cdot I_1\cdot t = 20\cdot 1\cdot 300 = 6000\\ \text{J}.
  1. Calor absorvido pela água em calorias: com m=300\\ \text{g}, c=1\\ \text{cal}\cdot\text{g}^{-1}\cdot^\circ\text{C}^{-1} e \Delta T=40-20=20^\circ\text{C},
Q = m\cdot c\cdot\Delta T = 300\cdot 1\cdot 20 = 6000\\ \text{cal}.
  1. Equivalente mecânico de calor J:
J_1=\frac{E_{\text{el},1}}{Q}=\frac{6000\\ \text{J}}{6000\\ \text{cal}}=1{,}0\\ \frac{\text{J}}{\text{cal}}.
Interpretação: o experimento (neste caso) dá 1{,}0\\ \text{J}/\text{cal}.

Passo 4

Calculando para o caso (b) com V_2=15\\ \text{V}, I_2=0{,}7\\ \text{A}, mesmo t e mesma massa (vou assumir que a variação de temperatura usada na determinação de J é a mesma \Delta T=20^\circ\text{C}, como indicado ao “repetir o cálculo” do enunciado).
  1. Energia elétrica fornecida:
E_{\text{el},2}=V_2\cdot I_2\cdot t = 15\cdot 0{,}7\cdot 300.
Calcule passo a passo: 15\cdot 0{,}7=10{,}5. Então
E_{\text{el},2}=10{,}5\cdot 300 = 3150\\ \text{J}.
  1. Calor absorvido pela água (mesmo \Delta T e mesmo m):
Q=300\cdot 1\cdot 20 = 6000\\ \text{cal}.
  1. Equivalente J:
J_2=\frac{3150\\ \text{J}}{6000\\ \text{cal}}=0{,}525\\ \frac{\text{J}}{\text{cal}}.
Interpretação: com tensão e corrente menores, a energia elétrica fornecida foi menor, logo o J calculado (energia por caloria) também é menor.

Passo 5

Construção do gráfico T\times t e cálculo da taxa de aquecimento q_H (aqui explico como fazer e calculo numérico).
  • O enunciado informa que, no primeiro caso, a temperatura aumenta linearmente de 20^\circ\text{C} a 40^\circ\text{C} em 300\\ \text{s}. Então para o caso (a) os pontos chave do gráfico são:
( t=0\\ \text{s},\\ T=20^\circ\text{C})\quad\text{e}\quad( t=300\\ \text{s},\\ T=40^\circ\text{C}).
  • Para o caso (b) o enunciado não deu explicitamente uma nova curva, mas como pediram “repita o cálculo” e depois “construa um gráfico para os dois casos”, eu vou mostrar como proceder em duas leituras possíveis e escolho a interpretação consistente com os dados fornecidos:
    • Interpretação adotada (seguindo o pedido “repita o cálculo”): usamos a mesma variação de temperatura \Delta T=20^\circ\text{C} em 300\\ \text{s}. Assim os dois gráficos coincidem: ambos são retas que ligam (0,20^\circ\text{C}) a (300,40^\circ\text{C}).
    • Como alternativa física (comentário didático): se na prática o segundo caso tivesse sido medido com menor energia, a rampa seria mais suave (menor inclinação). Mas para este enunciado repetimos o cálculo com a mesma \Delta T.
  • Taxa de aquecimento q_H é a derivada \dfrac{dT}{dt}. Para cada caso (usando \Delta T=20^\circ\text{C} em \Delta t=300\\ \text{s}):
q_H=\frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{20^\circ\text{C}}{300\\ \text{s}}=0{,}066666\ldots\\ ^\circ\text{C}\!\cdot\text{s}^{-1}.
Em unidades mais usuais por minuto:
q_H = 0{,}066666\ldots\cdot 60 = 4{,}0\\ ^\circ\text{C}\!\cdot\text{min}^{-1}.
Portanto, com a interpretação adotada, ambos têm a mesma taxa:
q_{H,1}=q_{H,2}=0{,}0667\\ ^\circ\text{C}\!\cdot\text{s}^{-1}=4{,}0\\ ^\circ\text{C}\!\cdot\text{min}^{-1}.

Passo 6

Cálculo do valor médio de J e comparação com o valor teórico. Discussão das discrepâncias (didática e empática).
  • Valor médio de J entre os dois experimentos:
J_{\text{médio}}=\frac{J_1+J_2}{2}=\frac{1{,}0+0{,}525}{2}=0{,}7625\\ \frac{\text{J}}{\text{cal}}.é
  • Valor teórico: J_{\text{teórico}}=4{,}186\\ \text{J}/\text{cal}ó. Comparação:
J_{\text{médio}}=0{,}7625\\ \frac{\text{J}}{\text{cal}}\quad\text{vs}\quad J_{\text{teórico}}=4{,}186\\ \frac{\text{J}}{\text{cal}}.éó
Observação: o valor experimental médio é muito menor que o teórico (aprox. 18{,}2\% do valor teórico). Agora uma discussão das possíveis causas — faço do jeito amigo/colaborador, sem julgamentos:
  • Nem toda a energia elétrica fornecida foi transformada em calor útil na água: parte foi dissipada no aquecedor, nos cabos, e perdida para o ambiente (convecção e radiação) durante o tempo do experimento.
  • Não consideramos a capacidade térmica do béquer/calorímetro, do termômetro, do suporte e dos eletrodos — se esses corpos aqueceram, parte da energia foi para eles e não contabilizada em Q da água. Isso faz o J experimental menor.
  • Erros de medição: leituras de tensão e corrente podem ter incertezas; se I medido for menor do que o real, E_{\text{el}} fica subestimada, etc. Também termômetros com resposta lenta ou leituras imprecisas afetam \Delta T.
  • Erros de unidade/definição: aqui usei c=1\\ \text{cal}/(\text{g}\cdot^\circ\text{C}) e calculei Q em calorias; se alguém confundisse e usasse c em J/(kg·°C) sem converter unidades, haveria confusão.
  • Perdas por evaporação se a água borbulhou um pouco também reduzem a energia que ficou como aumento de temperatura.
  • Em experimentos didáticos antigos (como os de Joule) o acerto com o valor teórico exige calorímetro bem isolado e medição cuidadosa; sem isolamento e sem compensar as perdas, o valor de J experimental tende a ser menor.
    Resumo empático: é normal obter discrepâncias grandes em experimentos simples de bancada — o importante é identificar fontes de erro e, se possível, corrigi-las (isolar melhor, medir a energia total dissipada no conjunto, incluir calor do recipiente, medir temperatura com melhor resolução).

Resposta

a) J_1=1{,}0\\ \dfrac{\text{J}}{\text{cal}}\n
b) J_2=0{,}525\\ \dfrac{\text{J}}{\text{cal}}\n
c) Gráficos: ambas as curvas (pela interpretação adotada) são retas ligando (0\\ \text{s},20^\circ\text{C}) a (300\\ \text{s},40^\circ\text{C}). Taxas de aquecimento: q_{H,1}=q_{H,2}=0{,}0667\\ ^\circ\text{C}\!\cdot\text{s}^{-1}=4{,}0\\ ^\circ\text{C}\!\cdot\text{min}^{-1}\n
d) J_{\text{médio}}=0{,}7625\\ \dfrac{\text{J}}{\text{cal}}é. Valor teórico 4{,}186\\ \dfrac{\text{J}}{\text{cal}}. Discrepâncias provavelmente por perdas térmicas ao ambiente, calor absorvido pelo recipiente/eletrodos, erros de medição e suposições experimentais (explicadas no texto).

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