Um cubo de aresta
é seccionado por planos que cortam, cada um, todas as arestas concorrentes num vértice em pontos que distam x (
) destes vértices. Retirando-se as pirâmides formadas, obtém-se um poliedro P . Descreva esse poliedro e calcule seu número de diagonais.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um cubo de aresta
e, em cada vértice, cortamos a pirâmide formada pelos três arestas concorrentes a esse vértice por um plano que as intercepta a uma distância
do vértice (com
). Após retirar essas 8 pirâmides, sobra um poliedro
. O objetivo é (1) descrever a forma de
e (2) calcular quantas diagonais ele possui. Para isso vamos usar contagem de faces, arestas e vértices, o Teorema de Euler e a fórmula de diagonais de um poliedro.
Passo 2
Quando cortamos cada vértice do cubo por um plano que intercepta suas três arestas em pontos a distância
, cada vértice original gera uma nova face triangular (é uma pirâmide triédrica removida). As seis faces quadradas originais também perdem os quatro cantos e passam a ser poligonais de oito lados (octógonos). Portanto,
é exatamente o cubo truncado, com
-
faces novas triangulares, -
faces originais transformadas em octógonos.
Passo 3
Vamos contar o total de faces
de
:
Passo 4
Agora contamos as arestas
. Há duas fontes de arestas em
:
- De cada aresta original do cubo (são
ao todo) sobra um segmento entre os pontos de corte, que vira aresta de dois octógonos. - Cada face triangular nova contribui com
arestas, todas ligadas a octógonos. Como são triângulos, isso dá arestas, mas cada aresta aparece em exatamente um triângulo e um octógono.
Somando
Passo 5
Usando o Teorema de Euler para poliedros convexos,
logo
Portanto
tem
vértices.
Passo 6
A quantidade de diagonais de um poliedro é o número de pares de vértices não ligados por aresta. Há
pares de vértices no total e
desses pares são arestas. Assim o número de diagonais
é
Resposta
O poliedro
é o cubo truncado, com
faces triangulares e
faces octogonais, e possui
diagonais.