Um cubo de aresta a é seccionado por planos que cortam, cada um, todas as arestas concorrentes num vértice em pontos que distam x ( x<a / 2 ) destes vértices. Retirando-se as pirâmides formadas, obtém-se um poliedro P . Descreva esse poliedro e calcule seu número de diagonais.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um cubo de aresta a e, em cada vértice, cortamos a pirâmide formada pelos três arestas concorrentes a esse vértice por um plano que as intercepta a uma distância x do vértice (com x<a/2). Após retirar essas 8 pirâmides, sobra um poliedro P. O objetivo é (1) descrever a forma de P e (2) calcular quantas diagonais ele possui. Para isso vamos usar contagem de faces, arestas e vértices, o Teorema de Euler e a fórmula de diagonais de um poliedro.

Passo 2

Quando cortamos cada vértice do cubo por um plano que intercepta suas três arestas em pontos a distância x, cada vértice original gera uma nova face triangular (é uma pirâmide triédrica removida). As seis faces quadradas originais também perdem os quatro cantos e passam a ser poligonais de oito lados (octógonos). Portanto, P é exatamente o cubo truncado, com
  • 8 faces novas triangulares,
  • 6 faces originais transformadas em octógonos.

Passo 3

Vamos contar o total de faces F de P:
F = 8\;(\text{triângulos}) \;+\;6\;(\text{octógonos}) \;=\;14.âó

Passo 4

Agora contamos as arestas E. Há duas fontes de arestas em P:
  1. De cada aresta original do cubo (são 12 ao todo) sobra um segmento entre os pontos de corte, que vira aresta de dois octógonos.
  2. Cada face triangular nova contribui com 3 arestas, todas ligadas a octógonos. Como são 8 triângulos, isso dá 8\times3=24 arestas, mas cada aresta aparece em exatamente um triângulo e um octógono.
    Somando
E = 12 + 24 = 36.

Passo 5

Usando o Teorema de Euler para poliedros convexos,
V - E + F = 2,
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V = 2 + E - F = 2 + 36 - 14 = 24.
Portanto P tem V=24 vértices.

Passo 6

A quantidade de diagonais de um poliedro é o número de pares de vértices não ligados por aresta. Há \binom{V}{2} pares de vértices no total e E desses pares são arestas. Assim o número de diagonais D é
D = \binom{24}{2} \;-\;36 = \frac{24\cdot23}{2} - 36 = 276 - 36 = 240.

Resposta

O poliedro P é o cubo truncado, com 8 faces triangulares e 6 faces octogonais, e possui 240 diagonais.

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