Quantos e quais são os poliedros convexos regulares? A respeito de cada um deles, quantas são suas faces, suas arestas e vértices?
Passo 1
O enunciado pede para identificar todos os poliedros convexos regulares (os chamados sólidos platônicos) e, para cada um, informar quantas faces, arestas e vértices eles têm. Vamos usar teoria de poliedros regulares, desigualdade sobre ângulos e as fórmulas de contagem (incluindo a fórmula de Euler) para resolver.
Passo 2
Um poliedro convexo é regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e em cada vértice se encontram o mesmo número de faces. Se cada face é um
-gono regular e
faces se encontram em cada vértice, denotamos o sólido por
. Para existir geometricamente em 3D convexo, o ângulo interno de cada face multiplicado por
deve ser estritamente menor que
. Isso leva à condição conhecida
Passo 3
Para cada par
que satisfaz a desigualdade, calculamos:
pois cada face tem
arestas e cada aresta é contada em duas faces, e
pois em cada vértice se encontram
arestas, cada aresta tem dois vértices. Finalmente usamos a fórmula de Euler:
Substituindo
e
em função de
, ou resolvendo diretamente, encontramos valores inteiros positivos adequados.
Passo 4
Resolvendo
para
inteiros, só surgem cinco pares:
Cada um corresponde a um sólido de Platão:
-
tetraedro regular, -
cubo, -
octaedro, -
dodecaedro, -
icosaedro.
Passo 5
Calculando
,
e
para cada caso (ou lembrando os valores clássicos), obtemos:
Resposta
Tetraedro regular
:
,
,
Cubo
:
,
,
Octaedro
:
,
,
Dodecaedro
:
,
,
Icosaedro
:
,
,