Quantos e quais são os poliedros convexos regulares? A respeito de cada um deles, quantas são suas faces, suas arestas e vértices?

Passo 1

O enunciado pede para identificar todos os poliedros convexos regulares (os chamados sólidos platônicos) e, para cada um, informar quantas faces, arestas e vértices eles têm. Vamos usar teoria de poliedros regulares, desigualdade sobre ângulos e as fórmulas de contagem (incluindo a fórmula de Euler) para resolver.

Passo 2

Um poliedro convexo é regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e em cada vértice se encontram o mesmo número de faces. Se cada face é um p-gono regular e q faces se encontram em cada vértice, denotamos o sólido por \{p,q\}. Para existir geometricamente em 3D convexo, o ângulo interno de cada face multiplicado por q deve ser estritamente menor que 360^\circ. Isso leva à condição conhecida
(p-2)\,(q-2) < 4.

Passo 3

Para cada par (p,q) que satisfaz a desigualdade, calculamos:
E = \frac{p\,F}{2},
pois cada face tem p arestas e cada aresta é contada em duas faces, e
V = \frac{2\,E}{q},
pois em cada vértice se encontram q arestas, cada aresta tem dois vértices. Finalmente usamos a fórmula de Euler:
V - E + F = 2.
Substituindo E e V em função de F, ou resolvendo diretamente, encontramos valores inteiros positivos adequados.

Passo 4

Resolvendo (p-2)(q-2)<4 para p,q\ge3 inteiros, só surgem cinco pares:
(p,q)\in\{(3,3),(4,3),(3,4),(5,3),(3,5)\}.
Cada um corresponde a um sólido de Platão:
  • \{3,3\} tetraedro regular,
  • \{4,3\} cubo,
  • \{3,4\} octaedro,
  • \{5,3\} dodecaedro,
  • \{3,5\} icosaedro.

Passo 5

Calculando F, E e V para cada caso (ou lembrando os valores clássicos), obtemos:

Resposta

Tetraedro regular \{3,3\}:
F=4, E=6, V=4
Cubo \{4,3\}:
F=6, E=12, V=8
Octaedro \{3,4\}:
F=8, E=12, V=6
Dodecaedro \{5,3\}:
F=12, E=30, V=20
Icosaedro \{3,5\}:
F=20, E=30, V=12

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