Sejam as seguintes séries:
\sum_{2}^{\infty} \frac{4}{n^{2}-1}, calcule a soma. Dica: Série telescópica.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{4}{n^{2}-1}.
O truque é reconhecer que isso é uma série telescópica: vamos decompor o termo geral em frações parciais para evidenciar cancelamentos.

Passo 2

Começamos escrevendo o termo geral como
\frac{4}{n^{2}-1} \;=\;\frac{4}{(n-1)(n+1)}.
Buscamos constantes A e B tais que
\frac{4}{(n-1)(n+1)} \;=\;\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (n-1)(n+1), obtém-se
4 \;=\; A(n+1)+B(n-1).
Igualando coeficientes de n e termo constante:
- Em n: A+B=0,
- Constantes: A - B=4.
Resolvendo, vem A=2 e B=-2. Logo
\frac{4}{n^{2}-1} =\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n+1}.

Passo 4

Definimos a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n+1}\Bigr).
Escrevendo alguns termos:
\begin{aligned} n=2:&\quad\frac{2}{1}-\frac{2}{3},\\\ n=3:&\quad\frac{2}{2}-\frac{2}{4},\\\ n=4:&\quad\frac{2}{3}-\frac{2}{5},\\\ \vdots\quad & \\\ n=N:&\quad\frac{2}{N-1}-\frac{2}{N+1}. \end{aligned}
Vê-se que a maioria dos termos internos se cancela em cascata.

Passo 5

Após o cancelamento, restam em S_{N} apenas os primeiros dois positivos e os dois últimos negativos:
S_{N} = \bigl(2/1 + 2/2\bigr)\;-\;\bigl(2/N + 2/(N+1)\bigr) =3 \;-\;\Bigl(\frac{2}{N}+\frac{2}{N+1}\Bigr).

Passo 6

Fazendo N\to\infty, os termos \tfrac{2}{N} e \tfrac{2}{N+1} vão a zero. Logo a soma infinita converge para
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{4}{n^{2}-1} =3.

Resposta

3

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