Sejam as seguintes séries:
, calcule a soma. Dica: Série telescópica.
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
O truque é reconhecer que isso é uma série telescópica: vamos decompor o termo geral em frações parciais para evidenciar cancelamentos.
Passo 2
Começamos escrevendo o termo geral como
Buscamos constantes
e
tais que
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
, obtém-se
Igualando coeficientes de
e termo constante:
- Em :
,
- Constantes: .
Resolvendo, vem e
. Logo
- Em
- Constantes:
Resolvendo, vem
Passo 4
Definimos a soma parcial até
:
Escrevendo alguns termos:
Vê-se que a maioria dos termos internos se cancela em cascata.
Passo 5
Após o cancelamento, restam em
apenas os primeiros dois positivos e os dois últimos negativos:
Passo 6
Fazendo
, os termos
e
vão a zero. Logo a soma infinita converge para