Um cubo oco, de aresta interna a, está cheio de água de densidade
até a metade. Calcular a força exercida pela água sobre a base do cubo
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (pego diretamente do enunciado):
- Um cubo oco com aresta interna
. - O cubo está cheio de água até a metade, ou seja, a altura da coluna de água é
. - A densidade da água é
.
O que é pedido:
- Calcular a força exercida pela água sobre a base do cubo.
Observações/hipóteses usadas (não pedidas explicitamente, mas normalmente assumidas em problemas deste tipo):
- O cubo tem parte superior aberta ao ar (a superfície livre da água está em contato com a atmosfera).
- A aceleração da gravidade é
(usar simbólico na resposta). - Quando se diz “força exercida pela água sobre a base” entende-se a força resultante que a água aplica na face interna da base (se for necessário o “excesso” sobre a pressão atmosférica, isso será indicado ao derivar; a convenção usual é calcular a força devido à água, ou seja, a pressão gauge
vezes a área).
Passo 2
Entendendo pressão e força: pressão é força por unidade de área. Definição:
onde
é a pressão,
a força normal sobre uma área
. Assim, se a pressão sobre uma superfície é uniforme, a força total é
Unidades: pressão em Pascal (
), força em Newton (
), área em
.
Explicando por que a pressão no fundo de um líquido é a mesma em toda a base horizontal: num fluido em repouso a pressão varia apenas com a profundidade vertical. A lei básica da hidrostática (que vou derivar de forma simples) diz que a diferença de pressão entre dois pontos separados verticalmente por uma distância
é
onde
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade e
é a diferença de profundidade medida verticalmente. Uma demonstração rápida: considerar uma coluna de fluido de base
e altura
; o equilíbrio vertical pede que a força para cima na base menos a força para cima na superfície superior menos o peso do fluido seja zero, levando a
, portanto
. Integrando a partir da superfície livre (onde a pressão é a pressão atmosférica
) até profundidade
obtém-se
Aqui
é a profundidade medida verticalmente a partir da superfície livre até o ponto considerado. Note que para uma base perfeitamente horizontal todos os pontos da base têm a mesma profundidade
, logo a pressão sobre toda a base é uniforme.
Passo 3
Aplicando os resultados ao cubo: a altura da coluna de água é
(peguei isso do enunciado). Então a pressão absoluta no fundo é
A área da base do cubo (área interna) é
Se quisermos a força total que a água exerce sobre a face interna da base (força resultante para cima que o líquido aplica sobre a base), multiplicamos a pressão sobre a base pela área:
Passo 4
Sobre convenções: muitas vezes o problema pede a força “devida à água” (ou seja, a força excedente além da pressão atmosférica), porque a pressão atmosférica age tanto na superfície livre quanto no lado externo da base e, se a base exterior também estiver exposta à atmosfera, essas contribuições se cancelam quando se calcula a força líquida sobre a base. Nesse caso usamos a pressão gauge (excesso sobre a atmosférica):
e a força devido somente à água (o que a maioria das questões quer) é
Passo 5
Cálculo final e interpretação física: multiplicando,
Interpretação útil: o volume de água é
, a massa da água é
e o peso é
. Assim a força sobre a base devido à água é exatamente igual ao peso da água (isto faz sentido: em um recipiente com paredes verticais, a base suporta o peso do líquido). Isso é uma boa verificação de consistência.