Um cubo oco, de aresta interna a, está cheio de água de densidade \rho até a metade. Calcular a força exercida pela água sobre a base do cubo

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (pego diretamente do enunciado):
  • Um cubo oco com aresta interna a.
  • O cubo está cheio de água até a metade, ou seja, a altura da coluna de água é h=\dfrac{a}{2}.
  • A densidade da água é \rho.
O que é pedido:
  • Calcular a força exercida pela água sobre a base do cubo.
Observações/hipóteses usadas (não pedidas explicitamente, mas normalmente assumidas em problemas deste tipo):
  • O cubo tem parte superior aberta ao ar (a superfície livre da água está em contato com a atmosfera).
  • A aceleração da gravidade é g (usar g simbólico na resposta).
  • Quando se diz “força exercida pela água sobre a base” entende-se a força resultante que a água aplica na face interna da base (se for necessário o “excesso” sobre a pressão atmosférica, isso será indicado ao derivar; a convenção usual é calcular a força devido à água, ou seja, a pressão gauge \rho g h vezes a área).

Passo 2

Entendendo pressão e força: pressão é força por unidade de área. Definição:
p=\frac{F}{A},
onde p é a pressão, F a força normal sobre uma área A. Assim, se a pressão sobre uma superfície é uniforme, a força total é
F=p\cdot A.
Unidades: pressão em Pascal ( \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2}), força em Newton ( \mathrm{N}), área em \mathrm{m^2}.
Explicando por que a pressão no fundo de um líquido é a mesma em toda a base horizontal: num fluido em repouso a pressão varia apenas com a profundidade vertical. A lei básica da hidrostática (que vou derivar de forma simples) diz que a diferença de pressão entre dois pontos separados verticalmente por uma distância \Delta z é
\Delta p = \rho g \,\Delta z,
onde \rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e \Delta z é a diferença de profundidade medida verticalmente. Uma demonstração rápida: considerar uma coluna de fluido de base A e altura \Delta z; o equilíbrio vertical pede que a força para cima na base menos a força para cima na superfície superior menos o peso do fluido seja zero, levando a p_{\text{base}}A - p_{\text{sup}}A - \rho A \Delta z \, g = 0, portanto p_{\text{base}}-p_{\text{sup}}=\rho g \Delta z. Integrando a partir da superfície livre (onde a pressão é a pressão atmosférica p_{\mathrm{atm}}) até profundidade h obtém-se
p(h)=p_{\mathrm{atm}}+\rho g h.
Aqui h é a profundidade medida verticalmente a partir da superfície livre até o ponto considerado. Note que para uma base perfeitamente horizontal todos os pontos da base têm a mesma profundidade h, logo a pressão sobre toda a base é uniforme.

Passo 3

Aplicando os resultados ao cubo: a altura da coluna de água é h=\dfrac{a}{2} (peguei isso do enunciado). Então a pressão absoluta no fundo é
p_{\text{fundo}}=p_{\mathrm{atm}}+\rho g \left(\dfrac{a}{2}\right).
A área da base do cubo (área interna) é
A = a^2.
Se quisermos a força total que a água exerce sobre a face interna da base (força resultante para cima que o líquido aplica sobre a base), multiplicamos a pressão sobre a base pela área:
F_{\text{interna}}=p_{\text{fundo}}\cdot A=\left(p_{\mathrm{atm}}+\rho g \frac{a}{2}\right)\cdot a^2.

Passo 4

Sobre convenções: muitas vezes o problema pede a força “devida à água” (ou seja, a força excedente além da pressão atmosférica), porque a pressão atmosférica age tanto na superfície livre quanto no lado externo da base e, se a base exterior também estiver exposta à atmosfera, essas contribuições se cancelam quando se calcula a força líquida sobre a base. Nesse caso usamos a pressão gauge (excesso sobre a atmosférica):
p_{\text{gauge}}=\rho g \frac{a}{2},
e a força devido somente à água (o que a maioria das questões quer) é
F = p_{\text{gauge}}\cdot A = \left(\rho g \frac{a}{2}\right)\cdot a^2.

Passo 5

Cálculo final e interpretação física: multiplicando,
F = \rho g \frac{a}{2}\cdot a^2 = \frac{\rho g a^3}{2}.
Interpretação útil: o volume de água é V=a^2\cdot\frac{a}{2}=\dfrac{a^3}{2}, a massa da água é \rho V=\dfrac{\rho a^3}{2} e o peso é \rho V g=\dfrac{\rho g a^3}{2}. Assim a força sobre a base devido à água é exatamente igual ao peso da água (isto faz sentido: em um recipiente com paredes verticais, a base suporta o peso do líquido). Isso é uma boa verificação de consistência.

Resposta

F=\frac{\rho g a^{3}}{2}

Exercícios relacionados