Uma esfera não condutora de raio R tem uma carga q uniformemente distribuída sobre seu volume. Tome o potencial elétrico no centro da esfera como sendo V=0.
Obtenha o potential elétrico para r=R / 2;

Passo 1

O enunciado dá uma esfera não condutora de raio \,R\, com carga total \,q\, distribuída uniformemente no volume. Foi fixado o potencial elétrico no centro igual a \,0. A pergunta é: obter o potencial elétrico no ponto r=R/2.
Informações relevantes:
  • Raio da esfera: \,R\,.
  • Carga total da esfera: \,q\,.
  • Distribuição: uniforme no volume (densidade volumétrica constante).
  • Condição de referência: \,V(0)=0\,.
  • Ponto onde se quer o potencial: \,r=\dfrac{R}{2}.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: calcular a densidade de carga volumétrica \rho. Para uma carga total \,q\, uniformemente distribuída em uma esfera de raio \,R, o volume da esfera é \dfrac{4}{3}\pi R^{3}. Logo
\rho=\dfrac{q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}=\dfrac{3q}{4\pi R^{3}}.
Aqui \rho tem unidade de carga por volume e é constante dentro da esfera.

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss e achar o campo elétrico dentro da esfera, precisamos da carga encerrada por uma superfície esférica de raio \,r\le R. A carga encerrada é a densidade vezes o volume da esfera de raio \,r:
Q_{\text{enc}}(r)=\rho\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3} =\left(\dfrac{3q}{4\pi R^{3}}\right)\dfrac{4}{3}\pi r^{3} =\dfrac{q\,r^{3}}{R^{3}}.
Portanto a fração da carga total dentro de raio r é \dfrac{r^{3}}{R^{3}}.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss (forma integral) para simetria esférica: para r\le R o campo elétrico tem direção radial e a mesma magnitude em toda a superfície esférica de raio r. A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
O lado esquerdo é E(r)\cdot 4\pi r^{2}. Substituindo Q_{\text{enc}} obtemos
E(r)\,4\pi r^{2}=\dfrac{q\,r^{3}}{\varepsilon_{0}R^{3}}.
Daí
E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{q\,r}{R^{3}}.
Explicando: \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo; a forma \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante que aparece nas fórmulas de Coulomb/Gauss. Note que E(r) cresce linearmente com r dentro da esfera (comportamento típico de uma distribuição volumétrica uniforme).

Passo 5

Relação entre campo elétrico e potencial elétrico: a diferença de potencial entre dois pontos a e b é
V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Para geometria radial e campos radiais, \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E(r')\,dr' (com sinal apropriado conforme direção radial). Como foi dado \,V(0)=0\,, escolhemos a=0 e b=r. Então
V(r)-V(0)=V(r)-0=V(r)=-\int_{0}^{r}E(r')\,dr'.

Passo 6

Substituindo a expressão de E(r') e integrando:
V(r)=-\int_{0}^{r}\left(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{q\,r'}{R^{3}}\right)dr' =-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{q}{R^{3}}\int_{0}^{r}r'\,dr'.
Calcule a integral:
\int_{0}^{r}r'\,dr'=\dfrac{r^{2}}{2}.
Logo
V(r)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{q}{R^{3}}\cdot\dfrac{r^{2}}{2} =-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{q\,r^{2}}{2R^{3}}.
Comentário didático: se a referência fosse V(\infty)=0 obteríamos a forma mais comum que dá um valor positivo no centro; como aqui fixamos V(0)=0, o potencial em pontos fora do centro pode ser negativo — isso é apenas consequência da escolha da referência.

Passo 7

Agora avaliar em r=\dfrac{R}{2}. Substituindo r^{2}=\dfrac{R^{2}}{4} na expressão anterior:
V\!\left(\dfrac{R}{2}\right)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{q}{2R^{3}}\cdot\left(\dfrac{R^{2}}{4}\right).
Simplificando passo a passo:
\dfrac{q}{2R^{3}}\cdot\dfrac{R^{2}}{4}=\dfrac{q}{8R},
portanto
V\!\left(\dfrac{R}{2}\right)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{q}{8R} =-\dfrac{q}{32\pi\varepsilon_{0}R}.

Passo 8

Interpretação rápida: o potencial em r=R/2 fica negativo porque o zero foi fixado no centro; numericamente o módulo é \dfrac{q}{32\pi\varepsilon_{0}R}. Se fosse usada a convenção usual V(\infty)=0, o valor para r=R/2 seria positivo e igual a \dfrac{q}{8\pi\varepsilon_{0}R} menos a constante de referência — mas aqui seguimos a condição do enunciado.

Resposta

V\!\left(\dfrac{R}{2}\right)=-\dfrac{q}{32\pi\varepsilon_{0}R}.

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