Uma esfera não condutora de raio
tem uma carga
uniformemente distribuída sobre seu volume. Tome o potencial elétrico no centro da esfera como sendo
.
Obtenha o potential elétrico para
;
Obtenha o potential elétrico para
Passo 1
O enunciado dá uma esfera não condutora de raio
com carga total
distribuída uniformemente no volume. Foi fixado o potencial elétrico no centro igual a
. A pergunta é: obter o potencial elétrico no ponto
.
Informações relevantes:
- Raio da esfera:
. - Carga total da esfera:
. - Distribuição: uniforme no volume (densidade volumétrica constante).
- Condição de referência:
. - Ponto onde se quer o potencial:
.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: calcular a densidade de carga volumétrica
. Para uma carga total
uniformemente distribuída em uma esfera de raio
, o volume da esfera é
. Logo
Aqui
tem unidade de carga por volume e é constante dentro da esfera.
Passo 3
Para aplicar a Lei de Gauss e achar o campo elétrico dentro da esfera, precisamos da carga encerrada por uma superfície esférica de raio
. A carga encerrada é a densidade vezes o volume da esfera de raio
:
Portanto a fração da carga total dentro de raio
é
.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss (forma integral) para simetria esférica: para
o campo elétrico tem direção radial e a mesma magnitude em toda a superfície esférica de raio
. A Lei de Gauss diz:
O lado esquerdo é
. Substituindo
obtemos
Daí
Explicando:
é a permissividade do vácuo; a forma
é a constante que aparece nas fórmulas de Coulomb/Gauss. Note que
cresce linearmente com
dentro da esfera (comportamento típico de uma distribuição volumétrica uniforme).
Passo 5
Relação entre campo elétrico e potencial elétrico: a diferença de potencial entre dois pontos
e
é
Para geometria radial e campos radiais,
(com sinal apropriado conforme direção radial). Como foi dado
, escolhemos
e
. Então
Passo 6
Substituindo a expressão de
e integrando:
Calcule a integral:
Logo
Comentário didático: se a referência fosse
obteríamos a forma mais comum que dá um valor positivo no centro; como aqui fixamos
, o potencial em pontos fora do centro pode ser negativo — isso é apenas consequência da escolha da referência.
Passo 7
Agora avaliar em
. Substituindo
na expressão anterior:
Simplificando passo a passo:
portanto
Passo 8
Interpretação rápida: o potencial em
fica negativo porque o zero foi fixado no centro; numericamente o módulo é
. Se fosse usada a convenção usual
, o valor para
seria positivo e igual a
menos a constante de referência — mas aqui seguimos a condição do enunciado.