Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:
\vec{E}=a y \hat{x}+b z \hat{y}+c x \hat{z}
com a, b e c constantes. Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano x y e com dois lados indo de x=0 até x=w e y=0 até y=h.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\vec{E}=a\,y\,\hat{x}+b\,z\,\hat{y}+c\,x\,\hat{z},
com a,b,c constantes. A superfície é um retângulo contido no plano xy com os lados variando de x=0 até x=w e de y=0 até y=h. O enunciado pede: determinar o fluxo do campo elétrico através dessa superfície retangular.
Informações relevantes listadas:
  • Campo elétrico: \vec{E}=a\,y\,\hat{x}+b\,z\,\hat{y}+c\,x\,\hat{z}.
  • Superfície: retângulo no plano xy, isto é, z=0.
  • Limites do retângulo: 0\le x\le w e 0\le y\le h.
  • Não foi especificada a orientação (sentido) da normal da superfície — lembra que o sinal do fluxo depende da orientação escolhida.

Passo 2

Conceito que vamos usar: fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para uma superfície plana com vetor área d\vec{A}=\hat{n}\,dA, o fluxo é
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dA.
Aqui:
  • \Phi é o fluxo do campo através da superfície S.
  • \hat{n} é o versor normal unitário à superfície (pode ser \hat{z} ou -\hat{z} no nosso caso).
  • dA é o elemento de área escalar (para um retângulo no plano xy, dA=dx\,dy).
Pequena aula prática: se \vec{E} tivesse apenas componente em z constante, digamos \vec{E}=E_0\hat{z}, então \Phi=E_0\cdot(\text{área})á. Quando a componente normal depende de x,y, precisamos integrar essa componente sobre a área.

Passo 3

Identificar a normal e o elemento de área do retângulo dado:
  • Como a superfície está no plano xy ( z=0), o vetor normal unitário pode ser tomado como \hat{n}=+\hat{z} (orientação para cima) ou \hat{n}=-\hat{z} (orientação para baixo). Vou calcular para \hat{n}=+\hat{z} e depois indicar o sinal se escolhermos a normal oposta.
  • O elemento de área escalar é dA=dx\,dy com x variando de 0 a w e y de 0 a h.

Passo 4

Determinar a componente do campo na direção normal. O produto escalar é
\vec{E}\cdot\hat{z}=(a\,y\,\hat{x}+b\,z\,\hat{y}+c\,x\,\hat{z})\cdot\hat{z}=c\,x,
pois \hat{x}\cdot\hat{z}=0, \hat{y}\cdot\hat{z}=0 e \hat{z}\cdot\hat{z}=1.
Observação importante: a componente b\,z multiplica \hat{y}, mas como a superfície está em z=0 nós também temos z=0 sobre a superfície; mesmo assim essa componente não contribui porque aponta em \hat{y}, não em \hat{z}. O que importa é apenas a componente na direção normal, que é c\,x.

Passo 5

Agora montamos a integral do fluxo com \hat{n}=+\hat{z}:
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{z}\,dA=\int_{x=0}^{w}\int_{y=0}^{h} c\,x\,dy\,dx.
Primeiro integramos em y (já que o integrando não depende de y):
\int_{y=0}^{h} c\,x\,dy = c\,x\left[ y \right]_{0}^{h}=c\,x\,h.
Agora integramos em x:
\Phi = \int_{x=0}^{w} c\,x\,h\,dx = c\,h \int_{0}^{w} x\,dx = c\,h\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{w} = \frac{c\,h\,w^{2}}{2}.
Detalhe intermediário para fixar: a integral \int_{0}^{w} x\,dx é \frac{w^{2}}{2} — é a área do triângulo sob a reta x entre 0 e w.

Passo 6

Interpretação do sinal: o resultado acima corresponde à normal escolhida \hat{n}=+\hat{z}. Se a normal for tomada no sentido oposto, \hat{n}=-\hat{z}, o fluxo muda de sinal:
\Phi_{-\hat{z}}=-\frac{c\,h\,w^{2}}{2}.
Breve exemplo numérico para checar (opcional): se c=1, w=2 e h=3, então \Phi= \tfrac{1\cdot 3\cdot 2^{2}}{2}= \tfrac{3\cdot 4}{2}=6. Isso ajuda a visualizar: valores maiores de w e h aumentam o fluxo, e c escala linearmente o resultado.

Resposta

\displaystyle \Phi=\frac{c\,h\,w^{2}}{2} (para a normal \hat{n}=+\hat{z}).\n \displaystyle \Phi=-\frac{c\,h\,w^{2}}{2} (para a normal \hat{n}=-\hat{z}).

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