Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:
com
e
constantes. Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano
e com dois lados indo de
até
e
até
.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico
com
constantes. A superfície é um retângulo contido no plano
com os lados variando de
até
e de
até
. O enunciado pede: determinar o fluxo do campo elétrico através dessa superfície retangular.
Informações relevantes listadas:
- Campo elétrico:
- Superfície: retângulo no plano
, isto é, . - Limites do retângulo:
e . - Não foi especificada a orientação (sentido) da normal da superfície — lembra que o sinal do fluxo depende da orientação escolhida.
Passo 2
Conceito que vamos usar: fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para uma superfície plana com vetor área
, o fluxo é
Aqui:
-
é o fluxo do campo através da superfície . -
é o versor normal unitário à superfície (pode ser ou no nosso caso). -
é o elemento de área escalar (para um retângulo no plano , ).
Pequena aula prática: se
tivesse apenas componente em
constante, digamos
, então
. Quando a componente normal depende de
, precisamos integrar essa componente sobre a área.
Passo 3
Identificar a normal e o elemento de área do retângulo dado:
- Como a superfície está no plano
( ), o vetor normal unitário pode ser tomado como (orientação para cima) ou (orientação para baixo). Vou calcular para e depois indicar o sinal se escolhermos a normal oposta. - O elemento de área escalar é
com variando de a e de a .
Passo 4
Determinar a componente do campo na direção normal. O produto escalar é
pois
,
e
.
Observação importante: a componente
multiplica
, mas como a superfície está em
nós também temos
sobre a superfície; mesmo assim essa componente não contribui porque aponta em
, não em
. O que importa é apenas a componente na direção normal, que é
.
Passo 5
Agora montamos a integral do fluxo com
:
Primeiro integramos em
(já que o integrando não depende de
):
Agora integramos em
:
Detalhe intermediário para fixar: a integral
é
— é a área do triângulo sob a reta
entre
e
.
Passo 6
Interpretação do sinal: o resultado acima corresponde à normal escolhida
. Se a normal for tomada no sentido oposto,
, o fluxo muda de sinal:
Breve exemplo numérico para checar (opcional): se
,
e
, então
. Isso ajuda a visualizar: valores maiores de
e
aumentam o fluxo, e
escala linearmente o resultado.