Um cubo de vidro tem um pequeno ponto no centro. (a) Que partes da face do cubo devem ser cobertas para evitar que o ponto seja visto, independentemente da direção da observação? (b) Qual a fração da superfície do cubo que precisa ser
coberta? Suponha um cubo com
de aresta e com um índice de 1,52 . (Despreze o comportamento subseqüente de um raio internamente refletido.)
coberta? Suponha um cubo com
Passo 1
O enunciado nos diz que temos um cubo de vidro de aresta
com índice de refração
e um ponto luminoso exatamente no centro do cubo. Queremos (a) descobrir quais regiões das faces devem ser cobertas para impedir que qualquer raio proveniente do ponto saia do cubo, e (b) calcular a fração da superfície total do cubo que isso representa. O conteúdo envolvido é o de refração em superfície plana, angulo crítico e geometria do raio que sai do centro até a face.
Passo 2
Para que um raio saia do cubo pela face plana, o ângulo de incidência interno
na face precisa satisfazer
onde o ângulo crítico
vem de Snell
Logo
Passo 3
Considere uma face do cubo, por exemplo a face
. Um ponto qualquer nessa face tem coordenadas
. O vetor do centro
até esse ponto forma com a normal
um ângulo
tal que
O raio sai se
, i.e.
Elevando ao quadrado e isolando
dá
Portanto, a região por onde saem raios é um disco de raio
em cada face, centrado no meio da face.
Passo 4
Numericamente, com
:
Logo
Passo 5
Cada face exige a cobertura de um disco de área
. Como há 6 faces, a área total a cobrir é
A área total do cubo é
A fração
da superfície coberta é então
Substituindo
, vem
ou seja, cerca de
da superfície total.
Resposta
(a) Em cada uma das seis faces deve-se cobrir um disco de centro no meio da face e raio
(b) A fração da superfície do cubo a cobrir é