Um cubo de vidro tem um pequeno ponto no centro. (a) Que partes da face do cubo devem ser cobertas para evitar que o ponto seja visto, independentemente da direção da observação? (b) Qual a fração da superfície do cubo que precisa ser
coberta? Suponha um cubo com 12,6 \mathrm{~mm} de aresta e com um índice de 1,52 . (Despreze o comportamento subseqüente de um raio internamente refletido.)

Passo 1

O enunciado nos diz que temos um cubo de vidro de aresta a=12{,}6\text{ mm} com índice de refração n=1{,}52 e um ponto luminoso exatamente no centro do cubo. Queremos (a) descobrir quais regiões das faces devem ser cobertas para impedir que qualquer raio proveniente do ponto saia do cubo, e (b) calcular a fração da superfície total do cubo que isso representa. O conteúdo envolvido é o de refração em superfície plana, angulo crítico e geometria do raio que sai do centro até a face.

Passo 2

Para que um raio saia do cubo pela face plana, o ângulo de incidência interno \theta na face precisa satisfazer
\theta < \theta_{c},
onde o ângulo crítico \theta_{c} vem de Snell
n\sin\theta_{c}=1\cdot\sin 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_{c}=\frac{1}{n}.
Logo
\theta_{c}=\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).

Passo 3

Considere uma face do cubo, por exemplo a face z=+a/2. Um ponto qualquer nessa face tem coordenadas (x,y,a/2). O vetor do centro (0,0,0) até esse ponto forma com a normal (0,0,1) um ângulo \theta tal que
\cos\theta =\frac{(0,0,1)\cdot(x,y,a/2)}{\|(0,0,1)\|\cdot\sqrt{x^2+y^2+(a/2)^2}} =\frac{a/2}{\sqrt{x^2+y^2+(a/2)^2}}.
O raio sai se \theta<\theta_{c}, i.e.
\cos\theta\ge\cos\theta_{c} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a/2}{\sqrt{x^2+y^2+(a/2)^2}}\ge\cos\theta_{c}.
Elevando ao quadrado e isolando x^2+y^2
x^2+y^2\le (a/2)^2\bigl(\tfrac{1}{\cos^2\theta_{c}}-1\bigr) =(a/2)^2\tan^2\theta_{c}.
Portanto, a região por onde saem raios é um disco de raio
r=\frac{a}{2}\tan\theta_{c}
em cada face, centrado no meio da face.

Passo 4

Numericamente, com n=1{,}52:
\sin\theta_{c}=\frac{1}{1{,}52}\approx0{,}6579,\quad \cos\theta_{c}=\sqrt{1-0{,}6579^2}\approx0{,}7530, \quad \tan\theta_{c}=\frac{0{,}6579}{0{,}7530}\approx0{,}8736.
Logo
r=\frac{12{,}6}{2}\times0{,}8736\;\text{mm}\approx5{,}50\;\text{mm}.

Passo 5

Cada face exige a cobertura de um disco de área \pi r^2. Como há 6 faces, a área total a cobrir é
6\pi r^2.
A área total do cubo é
6a^2.
A fração f da superfície coberta é então
f=\frac{6\pi r^2}{6a^2} =\pi\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^{2} =\pi\Bigl(\frac{\tan\theta_{c}}{2}\Bigr)^{2} =\frac{\pi}{4}\tan^2\theta_{c}.
Substituindo \tan^2\theta_{c}\approx0{,}8736^2\approx0{,}763, vem
f\approx\frac{\pi}{4}\times0{,}763\approx0{,}60,
ou seja, cerca de 60\% da superfície total.

Resposta

(a) Em cada uma das seis faces deve-se cobrir um disco de centro no meio da face e raio
r=\frac{a}{2}\tan\bigl(\arcsin(\tfrac1n)\bigr)\approx5{,}50\text{ mm}.
(b) A fração da superfície do cubo a cobrir é
f=\frac{\pi}{4}\tan^2\theta_{c}\approx0{,}60\quad(60\%).

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