Uma cultura de bactérias contém inicialmente 200 células e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de meia hora a população aumentou para 360 células.
(a) Encontre o número de bactérias depois de t horas.
(b) Encontre o número de bactérias depois de 4 horas.
(c) Encontre a taxa de crescimento depois de 4 horas.
(d) Quando a população atingirá 10.000 ?

Passo 1

O enunciado dá uma cultura de bactérias com as seguintes informações e pede quatro coisas:
  • Initialmente, a população é \,200 células (isso é em t=0).
  • Depois de meia hora (ou seja, t=0{,}5 horas) a população é \,360 células.
    As perguntas são:
    (a) Encontre o número de bactérias depois de t horas.
    (b) Encontre o número de bactérias depois de 4 horas.
    (c) Encontre a taxa de crescimento (número de células por hora) no instante t=4 horas.
    (d) Em que instante a população atingirá 10\,000 células?

Passo 2

Modelo matemático e por que ele vale aqui. Quando a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população, usamos a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=kP,
onde:
  • \,P(t) é a população no tempo t (em células),
  • \,k é a constante de proporcionalidade (em horas^{-1}), que indica a taxa relativa de crescimento.
    Essa equação diz, em palavras simples: “a velocidade com que a população muda é uma constante vezes a própria população”, que é o comportamento típico de crescimento exponencial.

Passo 3

Resolver a equação diferencial passo a passo (método de separação de variáveis). Começamos com
\frac{dP}{dt}=kP.
Separamos as variáveis P e t:
\frac{dP}{P}=k\,dt.
Integramos dos dois lados:
\int \frac{dP}{P}=\int k\,dt.
As integrais dão
\ln P = kt + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos a forma explícita da solução:
P(t)=Ce^{kt}.
Aqui o C é a constante que ajustamos com a condição inicial. Para evitar confusão com a constante escrita, substituiremos por P_0, o valor inicial, logo:
P(t)=P_0 e^{kt}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para achar P_0. Sabemos que em t=0 temos P(0)=200. Substituindo:
P(0)=P_0 e^{k\cdot 0}=P_0=200.
Portanto a solução particular é
P(t)=200\,e^{kt}.

Passo 5

Usar a informação de meia hora para determinar k. O enunciado diz P(0{,}5)=360. Substituindo na fórmula:
360 = 200\,e^{k\cdot 0{,}5}.
Dividindo por 200:
\frac{360}{200}=e^{0{,}5k}.
Simplificando \frac{360}{200}=1{,}8, temos
1{,}8 = e^{0{,}5k}.
Tomando logaritmo natural:
\ln(1{,}8)=0{,}5k \quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln(1{,}8)}{0{,}5}=2\ln(1{,}8).
Uma observação útil (para evitar cálculo de \ln na prova): podemos reescrever e^{kt} usando esse k:
e^{kt}=e^{(2\ln 1{,}8)\,t}=(e^{\ln 1{,}8})^{2t}=1{,}8^{\,2t}.

Passo 6

Escrever a resposta da parte (a). Substituindo em P(t)=200e^{kt} o valor de k ou a forma manipulada:
\boxed{P(t)=200\cdot 1{,}8^{\,2t}.}
Essa é uma forma prática: se você conhece potências, basta elevar 1{,}8 à potência 2t e multiplicar por 200.

Passo 7

Calcular a parte (b): número de bactérias depois de 4 horas. Basta pôr t=4 na fórmula do passo anterior:
P(4)=200\cdot 1{,}8^{\,2\cdot 4}=200\cdot 1{,}8^{8}.
Podemos calcular 1{,}8^{8} passo a passo:
1{,}8^{2}=3{,}24,\quad 1{,}8^{4}=3{,}24^{2}=10{,}4976,\quad 1{,}8^{8}=10{,}4976^{2}\approx110{,}19960576.
Logo
P(4)=200\cdot 110{,}19960576\approx22\,039{,}921152.
Arredondando de forma razoável para contagem de células:
P(4)\approx22\,039{,}92\\ \text{células}é
(ou cerca de 22\,040 células).

Passo 8

Encontrar a taxa de crescimento em t=4 (parte (c)). A taxa instantânea é a derivada P'(t). Da equação diferencial sabemos que
\frac{dP}{dt}=kP(t).
Então, no instante t=4,
\text{taxa em }t=4:\quad P'(4)=k\,P(4).
Já temos P(4)=200\cdot 1{,}8^{8} e k=2\ln(1{,}8). Portanto
P'(4)=2\ln(1{,}8)\cdot 200\cdot 1{,}8^{8}=400\ln(1{,}8)\cdot 1{,}8^{8}.
Para valor numérico, usando \ln(1{,}8)\approx0{,}5877866649 e 1{,}8^{8}\approx110{,}19960576, obtemos
P'(4)\approx 400\cdot 0{,}5877866649\cdot 110{,}19960576\approx25\,909{,}54\\ \text{células por hora}.é
Ou seja, no instante da 4ª hora a população está crescendo a cerca de 25\,909{,}5 células por hora.

Passo 9

Resolver a parte (d): quando P(t)=10\,000? Use a fórmula
10\,000 = 200\cdot 1{,}8^{\,2t}.
Dividindo por 200:
50 = 1{,}8^{\,2t}.
Tomando ln:
\ln 50 = 2t\ln(1{,}8) \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 50}{2\ln(1{,}8)}.
Para valor numérico use \ln 50\approx3{,}9120230054 e \ln(1{,}8)\approx0{,}5877866649:
t\approx\frac{3{,}9120230054}{2\cdot 0{,}5877866649}\approx3{,}328\\ \text{horas}.
Convertendo a parte fracionária em minutos: 0{,}328 hora \approx 0{,}328\cdot 60\approx 19{,}7 minutos, isto é, cerca de 3 horas 19 minutos e 41 segundos. Então a população atinge 10\,000 por volta de t\approx 3{,}328 horas.

Resposta

(a) P(t)=200\cdot 1{,}8^{\,2t}.
(b) P(4)=200\cdot 1{,}8^{8}\approx22\,039{,}92 células.
(c) P'(4)=2\ln(1{,}8)\cdot 200\cdot 1{,}8^{8}\approx25\,909{,}54 células/hora.
(d) t=\dfrac{\ln 50}{2\ln(1{,}8)}\approx3{,}328 horas (aprox. 3 h 19 min 41 s).

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