Uma cultura de bactérias contém inicialmente 200 células e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de meia hora a população aumentou para 360 células.
(a) Encontre o número de bactérias depois de
horas.
(b) Encontre o número de bactérias depois de 4 horas.
(c) Encontre a taxa de crescimento depois de 4 horas.
(d) Quando a população atingirá 10.000 ?
(a) Encontre o número de bactérias depois de
(b) Encontre o número de bactérias depois de 4 horas.
(c) Encontre a taxa de crescimento depois de 4 horas.
(d) Quando a população atingirá 10.000 ?
Passo 1
O enunciado dá uma cultura de bactérias com as seguintes informações e pede quatro coisas:
- Initialmente, a população é
células (isso é em ). - Depois de meia hora (ou seja,
horas) a população é células.
As perguntas são:
(a) Encontre o número de bactérias depois dehoras.
(b) Encontre o número de bactérias depois dehoras.
(c) Encontre a taxa de crescimento (número de células por hora) no instantehoras.
(d) Em que instante a população atingirácélulas?
Passo 2
Modelo matemático e por que ele vale aqui. Quando a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população, usamos a equação diferencial
onde:
-
é a população no tempo (em células), -
é a constante de proporcionalidade (em horas^{-1}), que indica a taxa relativa de crescimento.
Essa equação diz, em palavras simples: “a velocidade com que a população muda é uma constante vezes a própria população”, que é o comportamento típico de crescimento exponencial.
Passo 3
Resolver a equação diferencial passo a passo (método de separação de variáveis). Começamos com
Separamos as variáveis
e
:
Integramos dos dois lados:
As integrais dão
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos a forma explícita da solução:
Aqui o
é a constante que ajustamos com a condição inicial. Para evitar confusão com a constante escrita, substituiremos por
, o valor inicial, logo:
Passo 4
Aplicar a condição inicial para achar
. Sabemos que em
temos
. Substituindo:
Portanto a solução particular é
Passo 5
Usar a informação de meia hora para determinar
. O enunciado diz
. Substituindo na fórmula:
Dividindo por
:
Simplificando
, temos
Tomando logaritmo natural:
Uma observação útil (para evitar cálculo de
na prova): podemos reescrever
usando esse
:
Passo 6
Escrever a resposta da parte (a). Substituindo em
o valor de
ou a forma manipulada:
Essa é uma forma prática: se você conhece potências, basta elevar
à potência
e multiplicar por
.
Passo 7
Calcular a parte (b): número de bactérias depois de
horas. Basta pôr
na fórmula do passo anterior:
Podemos calcular
passo a passo:
Logo
Arredondando de forma razoável para contagem de células:
(ou cerca de
células).
Passo 8
Encontrar a taxa de crescimento em
(parte (c)). A taxa instantânea é a derivada
. Da equação diferencial sabemos que
Então, no instante
,
Já temos
e
. Portanto
Para valor numérico, usando
e
, obtemos
Ou seja, no instante da 4ª hora a população está crescendo a cerca de
células por hora.
Passo 9
Resolver a parte (d): quando
? Use a fórmula
Dividindo por
:
Tomando ln:
Para valor numérico use
e
:
Convertendo a parte fracionária em minutos:
hora
minutos, isto é, cerca de
horas
minutos e
segundos. Então a população atinge
por volta de
horas.
Resposta
(a)
(b) células.
(c) células/hora.
(d) horas (aprox. 3 h 19 min 41 s).
(b)
(c)
(d)