Uma partícula move-se ao longo de uma linha horizontal de tal forma que sua coordenada no tempo t seja x=\sqrt{b^{2}+c^{2} t}, em que b e c são constantes positivas.
(a) Encontre as funções velocidade e aceleração.
(b) Mostre que a partícula se move sempre no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado dá a coordenada da partícula como \;x=\sqrt{b^{2}+c^{2}t}\;, em que \;b>0\; e \;c>0\;. Ele pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar as funções velocidade e aceleração, isto é, \;v(t)=\dfrac{dx}{dt}\; e \;a(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\;.
  2. (b) Mostrar que a partícula se move sempre no sentido positivo (ou seja, que a velocidade é positiva para todo t).
As informações relevantes são apenas a expressão de \;x(t)\; e que \;b\; e \;c\; são constantes positivas.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar duas regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de modo bem didático):
  • Regra da potência: se \;u é uma função de t e n é um número, então
\frac{d}{dt}\bigl(u^{n}\bigr)=n\,u^{n-1}\,\frac{du}{dt}.
Aqui \;u(t)\; é qualquer expressão dependente de t — a ideia é aplicar a regra da potência ao “todo” e depois multiplicar pela derivada do interior (isso é a cadeia).
  • Exemplo simples para fixar: se \;x(t)=\sqrt{t}=(t)^{1/2}, então
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\,t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
No nosso problema a função dentro da raiz é \;u(t)=b^{2}+c^{2}t\;, que é afim em t. A derivada de \;u(t)\; em relação a t é \;u'(t)=c^{2}\; porque b^{2} é constante e \dfrac{d}{dt}(c^{2}t)=c^{2}.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade aplicando a regra da potência + cadeia à função
x(t)=\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{1/2}.
Usando a regra:
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr).
Sabemos que \dfrac{d}{dt}\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)=c^{2}. Substituindo,
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{-1/2}\cdot c^{2}.

Passo 4

Simplificando a expressão da velocidade obtemos uma forma mais agradável (colocando a raiz no denominador):
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{c^{2}}{2\sqrt{\,b^{2}+c^{2}t\,}}.
Aqui é bom comentar o que cada símbolo significa: \;v(t)\; é a velocidade instantânea no tempo \;t, \;c^{2}\; é uma constante positiva (pois \;c>0), e o denominador \;\sqrt{b^{2}+c^{2}t}\; é sempre positivo porque é raiz quadrada de algo estritamente positivo (já que b^{2}>0 e c^{2}t\ge 0 para t\ge 0 — mesmo para t negativo, b^{2}+c^{2}t pode ser positivo para muitos t; em todo caso, sob a hipótese do enunciado a expressão da raiz é válida onde definida).

Passo 5

Agora derivamos a velocidade para obter a aceleração. Partimos de
v(t)=\frac{c^{2}}{2}\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{-1/2}.
A constante \dfrac{c^{2}}{2} sai da derivada, e aplicamos novamente a regra da potência + cadeia ao fator \bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{-1/2}. Assim,
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{c^{2}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{-3/2}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr).
Substituindo \dfrac{d}{dt}\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)=c^{2} obtemos

Passo 6

Continuando a simplificação da aceleração:
a(t)=\frac{c^{2}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{-3/2}\cdot c^{2} = -\frac{c^{4}}{4}\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{-3/2}.
Escrevendo com a raiz no denominador:
a(t)=-\frac{c^{4}}{4\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{3/2}}.
Observe que \;c^{4}>0\; e o denominador \;\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{3/2}\; também é positivo onde a função está definida, então \;a(t)\;<0\; sempre (a aceleração é negativa).

Passo 7

Conclusões/interpretacões didáticas:
  • A velocidade \;v(t)=\dfrac{c^{2}}{2\sqrt{b^{2}+c^{2}t}}\; é positiva enquanto a expressão estiver definida, porque numerador e denominador são positivos. Isso significa que a coordenada \;x(t)\; aumenta com t: a partícula se move no sentido positivo.
  • A aceleração é negativa, o que significa que a velocidade está diminuindo com o tempo (a partícula está retardando), mas enquanto \;v(t)>0\; ela continua se deslocando para a direita (sentido positivo); a aceleração negativa não inverte o sentido, só reduz a velocidade.

Resposta

(a) \;v(t)=\dfrac{c^{2}}{2\sqrt{\,b^{2}+c^{2}t\,}}, \;a(t)=-\dfrac{c^{4}}{4\bigl(b^{2}+c^{2}t\bigr)^{3/2}}.\n(b) A partícula se move sempre no sentido positivo porque \;v(t)>0\; para todos os t em que a função está definida.

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