Uma partícula move-se ao longo de uma linha horizontal de tal forma que sua coordenada no tempo t seja
, em que
e
são constantes positivas.
(a) Encontre as funções velocidade e aceleração.
(b) Mostre que a partícula se move sempre no sentido positivo.
(a) Encontre as funções velocidade e aceleração.
(b) Mostre que a partícula se move sempre no sentido positivo.
Passo 1
O enunciado dá a coordenada da partícula como
, em que
e
. Ele pede duas coisas:
- (a) Encontrar as funções velocidade e aceleração, isto é,
e . - (b) Mostrar que a partícula se move sempre no sentido positivo (ou seja, que a velocidade é positiva para todo
).
As informações relevantes são apenas a expressão de
e que
e
são constantes positivas.
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar duas regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de modo bem didático):
- Regra da potência: se
é uma função de e é um número, então
Aqui
é qualquer expressão dependente de
— a ideia é aplicar a regra da potência ao “todo” e depois multiplicar pela derivada do interior (isso é a cadeia).
- Exemplo simples para fixar: se
, então
No nosso problema a função dentro da raiz é
, que é afim em
. A derivada de
em relação a
é
porque
é constante e
.
Passo 3
Agora calculamos a velocidade aplicando a regra da potência + cadeia à função
Usando a regra:
Sabemos que
. Substituindo,
Passo 4
Simplificando a expressão da velocidade obtemos uma forma mais agradável (colocando a raiz no denominador):
Aqui é bom comentar o que cada símbolo significa:
é a velocidade instantânea no tempo
,
é uma constante positiva (pois
), e o denominador
é sempre positivo porque é raiz quadrada de algo estritamente positivo (já que
e
para
— mesmo para
negativo,
pode ser positivo para muitos
; em todo caso, sob a hipótese do enunciado a expressão da raiz é válida onde definida).
Passo 5
Agora derivamos a velocidade para obter a aceleração. Partimos de
A constante
sai da derivada, e aplicamos novamente a regra da potência + cadeia ao fator
. Assim,
Substituindo
obtemos
Passo 6
Continuando a simplificação da aceleração:
Escrevendo com a raiz no denominador:
Observe que
e o denominador
também é positivo onde a função está definida, então
sempre (a aceleração é negativa).
Passo 7
Conclusões/interpretacões didáticas:
- A velocidade
é positiva enquanto a expressão estiver definida, porque numerador e denominador são positivos. Isso significa que a coordenada aumenta com : a partícula se move no sentido positivo. - A aceleração é negativa, o que significa que a velocidade está diminuindo com o tempo (a partícula está retardando), mas enquanto
ela continua se deslocando para a direita (sentido positivo); a aceleração negativa não inverte o sentido, só reduz a velocidade.
Resposta
(a)
,
.\n(b) A partícula se move sempre no sentido positivo porque
para todos os
em que a função está definida.