O volume de um cone circular reto é V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h, em que r é o raio da base e h é a altura.
Encontre a taxa de variação do volume em relação à altura se o raio for mantido constante.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume de um cone circular reto e pede a taxa de variação do volume em relação à altura quando o raio é mantido constante. Informações e pedido, listados claramente:
  • Fórmula dada: V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
  • Variáveis: r é o raio da base e h é a altura.
  • Condição importante: o raio r é mantido constante.
  • Pergunta: encontrar a taxa de variação do volume em relação à altura, isto é, calcular \dfrac{dV}{dh} com r constante.

Passo 2

O que significa “taxa de variação do volume em relação à altura”? É o quanto o volume muda quando a altura muda um pouco — formalmente é a derivada \dfrac{dV}{dh}. A derivada \dfrac{dV}{dh} tem unidades de volume por unidade de comprimento (por exemplo, \text{m}^3/\text{m}=\text{m}^2), e numericamente ela indica quanto de volume é acrescentado por cada unidade adicional de altura.

Passo 3

Vamos ver a função V como função de h com r fixo. Como r é constante, podemos enxergar a fórmula como uma função linear em h com coeficiente constante:
V(h)=\frac{1}{3}\pi r^{2}\,h.
Aqui \frac{1}{3}\pi r^{2} é apenas um número (dependente de r, mas não de h). Para derivar, usamos a regra básica: a derivada de uma constante multiplicada por h é essa constante. Em termos simples, se f(h)=k\cdot h com k constante, então f'(h)=k.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função:
\frac{dV}{dh}=\frac{d}{dh}\!\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}\,h\right) =\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}\right)\cdot\frac{d}{dh}(h).
E sabemos que
\frac{d}{dh}(h)=1.

Passo 5

Portanto a derivada fica
\frac{dV}{dh}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot 1=\frac{1}{3}\pi r^{2}.
Uma forma de interpretar isso: a área da base do cone é A_{\text{base}}=\pi r^{2}. Então \dfrac{dV}{dh}=\dfrac{1}{3}A_{\text{base}} — isto é, cada aumento unitário em h acrescenta um volume igual a um terço da área da base (unidades coerentes: por ex. \text{m}^2).

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar: se r=2 (em metros), então
\frac{dV}{dh}=\frac{1}{3}\pi (2)^{2}=\frac{4}{3}\pi,
ou seja, cada metro extra de altura acrescenta \dfrac{4}{3}\pi metros cúbicos de volume.

Passo 7

Dica prática para prova: quando uma variável aparece multiplicando h e é indicada como constante (aqui r), trate-a como um coeficiente numérico e use a regra simples \dfrac{d}{dh}(k h)=k. Respire fundo, faça o passo de identificar a constante e aplicar a regra — isso resolve rápido.

Resposta

\dfrac{dV}{dh}=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}

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