O volume de um cone circular reto é
, em que
é o raio da base e
é a altura.
Encontre a taxa de variação do volume em relação à altura se o raio for mantido constante.
Encontre a taxa de variação do volume em relação à altura se o raio for mantido constante.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do volume de um cone circular reto e pede a taxa de variação do volume em relação à altura quando o raio é mantido constante. Informações e pedido, listados claramente:
- Fórmula dada:
. - Variáveis:
é o raio da base e é a altura. - Condição importante: o raio
é mantido constante. - Pergunta: encontrar a taxa de variação do volume em relação à altura, isto é, calcular
com constante.
Passo 2
O que significa “taxa de variação do volume em relação à altura”? É o quanto o volume muda quando a altura muda um pouco — formalmente é a derivada
. A derivada
tem unidades de volume por unidade de comprimento (por exemplo,
), e numericamente ela indica quanto de volume é acrescentado por cada unidade adicional de altura.
Passo 3
Vamos ver a função
como função de
com
fixo. Como
é constante, podemos enxergar a fórmula como uma função linear em
com coeficiente constante:
Aqui
é apenas um número (dependente de
, mas não de
). Para derivar, usamos a regra básica: a derivada de uma constante multiplicada por
é essa constante. Em termos simples, se
com
constante, então
.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função:
E sabemos que
Passo 5
Portanto a derivada fica
Uma forma de interpretar isso: a área da base do cone é
. Então
— isto é, cada aumento unitário em
acrescenta um volume igual a um terço da área da base (unidades coerentes: por ex.
).
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar: se
(em metros), então
ou seja, cada metro extra de altura acrescenta
metros cúbicos de volume.
Passo 7
Dica prática para prova: quando uma variável aparece multiplicando
e é indicada como constante (aqui
), trate-a como um coeficiente numérico e use a regra simples
. Respire fundo, faça o passo de identificar a constante e aplicar a regra — isso resolve rápido.