Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim de 10 min , cresceu 4 %.
Determine a constante de proporcionalidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Isso significa que quanto mais bactérias tiverem, mais rápido elas vão se multiplicar. Esse tipo de crescimento é conhecido como crescimento exponencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do crescimento exponencial e encontrar a constante de proporcionalidade que está controlando esse crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do crescimento exponencial. Ela é dada por:
N(t) = N0 cdot e^kt
Aqui:
  • $ N(t) $ é a quantidade de bactérias no tempo $ t $.
  • $ N_0 $ é a quantidade inicial de bactérias.
  • $ k $ é a constante de proporcionalidade que queremos encontrar.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 3

A questão nos diz que após 10 minutos, a quantidade de bactérias cresceu 4%. Isso significa que:
N(10) = N0 cdot 1,04
Porque 4% de crescimento significa multiplicar a quantidade inicial por 1,04.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial com os valores que temos:
N0 cdot 1,04 = N0 cdot e^k cdot 10
Podemos dividir ambos os lados por $ N_0 $ para simplificar:
N0

Passo 5

Para resolver para $ k $, precisamos “desfazer” a exponenciação. Fazemos isso usando o logaritmo natural (ln):
k
Então,
ln(1,04) = 10k

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor numérico de $ k $:
k
Então,
ln(1,04) approx 0,03922

Resposta

A constante de proporcionalidade é aproximadamente $ 0,003922 , min^{-1} $.

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