Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim de 10 min , cresceu
.
Determine a constante de proporcionalidade.
Determine a constante de proporcionalidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Isso significa que quanto mais bactérias tiverem, mais rápido elas vão se multiplicar. Esse tipo de crescimento é conhecido como crescimento exponencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do crescimento exponencial e encontrar a constante de proporcionalidade que está controlando esse crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do crescimento exponencial. Ela é dada por:
Aqui:
- $ N(t) $ é a quantidade de bactérias no tempo $ t $.
- $ N_0 $ é a quantidade inicial de bactérias.
- $ k $ é a constante de proporcionalidade que queremos encontrar.
- $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 3
A questão nos diz que após 10 minutos, a quantidade de bactérias cresceu 4%. Isso significa que:
Porque 4% de crescimento significa multiplicar a quantidade inicial por 1,04.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial com os valores que temos:
Podemos dividir ambos os lados por $ N_0 $ para simplificar:
Passo 5
Para resolver para $ k $, precisamos “desfazer” a exponenciação. Fazemos isso usando o logaritmo natural (ln):
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor numérico de $ k $:
Então,
Resposta
A constante de proporcionalidade é aproximadamente $ 0,003922 , min^{-1} $.