Exercício 3 Determine c,
que satisfazem as seguintes equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de $ c $ e $ L $ que satisfazem a seguinte equação de limite:
Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas e como simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 3. Substituindo $ x = 3 $ na expressão:
Numerador:
Denominador:
Então, ao substituir $ x = 3 $, o denominador se torna zero. Isso significa que o limite pode resultar em uma forma indeterminada do tipo
, que é onde precisamos aplicar mais análise para encontrar $ c $ e $ L $.
Passo 3
Para que o limite exista e seja finito, o numerador também precisa se tornar zero quando $ x = 3 $. Isso evita a forma indeterminada e possibilita simplificar a expressão. Assim, igualamos o numerador a zero:
Resolvendo para $ c $:
Passo 4
Agora que encontramos $ c = -4 $, substituímos esse valor de volta no numerador para fatorar a expressão:
Numerador:
Vamos fatorar esse polinômio:
Denominador (já sabemos que $ x = 3 $ anula o denominador):
Passo 5
Agora, substituímos as fatorações na expressão original do limite:
Podemos cancelar o fator comum
, desde que $ x \neq 3 $:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite diretamente substituindo $ x = 3 $:
Resposta
Os valores que satisfazem a equação são $ c = -4 $ e $ L = 0,5 $.