Exercício 3 Determine c, L in R que satisfazem as seguintes equações.
lim x 3 x^2+c x+3x^2-2 x-3=L

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de $ c $ e $ L $ que satisfazem a seguinte equação de limite:
c
Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 3. Substituindo $ x = 3 $ na expressão:
Numerador:
x
Denominador:
x = 3
Então, ao substituir $ x = 3 $, o denominador se torna zero. Isso significa que o limite pode resultar em uma forma indeterminada do tipo 3^2 + c cdot 3 + 3 = 9 + 3c + 3 = 12 + 3c , que é onde precisamos aplicar mais análise para encontrar $ c $ e $ L $.

Passo 3

Para que o limite exista e seja finito, o numerador também precisa se tornar zero quando $ x = 3 $. Isso evita a forma indeterminada e possibilita simplificar a expressão. Assim, igualamos o numerador a zero:
x = 3
Resolvendo para $ c $:
12 + 3c = 0

Passo 4

Agora que encontramos $ c = -4 $, substituímos esse valor de volta no numerador para fatorar a expressão:
Numerador:
c = -4
Vamos fatorar esse polinômio:
x^2 - 4x + 3
Denominador (já sabemos que $ x = 3 $ anula o denominador):
x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)

Passo 5

Agora, substituímos as fatorações na expressão original do limite:
limx 3 (x - 3)(x - 1)(x - 3)(x + 1)
Podemos cancelar o fator comum (x - 3), desde que $ x \neq 3 $:
x neq 3

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite diretamente substituindo $ x = 3 $:
x = 3

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são $ c = -4 $ e $ L = 0,5 $.

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