Uma cunha triangular uniforme de massa
e ângulo
está apoiada sobre um piso horizontal perfeitamente liso (sem atrito). Um pequeno bloco de massa
é colocado no topo da cunha a uma altura vertical
e desliza para baixo ao longo da rampa inclinada (também sem atrito). Quando o bloco atinge a base da rampa da cunha, qual foi o deslocamento horizontal da cunha em relação ao chão?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado: uma cunha triangular de massa
com ângulo da rampa igual a apoiada sobre um piso perfeitamente liso (sem atrito horizontal). - Dado: um bloco de massa
está no topo da rampa e começa a deslizar sem atrito até a base. A queda vertical do bloco desde o topo até a base vale . - Condição importante: não há forças horizontais externas (piso sem atrito), portanto a quantidade de movimento horizontal do sistema cunha+bloco é conservada.
- Pergunta: qual o deslocamento horizontal da cunha em relação ao chão quando o bloco chega à base da rampa?
Passo 2
Analisar a geometria do movimento do bloco em relação à cunha (descrição do deslocamento relativo).
- Seja
o comprimento percorrido pelo bloco ao longo da rampa desde o topo até a base. A componente vertical desse deslocamento ao longo da rampa é . - Como a queda vertical total é
, tem-se
- Logo
- A componente horizontal do deslocamento do bloco em relação à cunha (isto é, medida no referencial da cunha) é a projeção de
na horizontal:
- Substituindo
:
Explicação didática curta: o bloco desce pela rampa um comprimento
; esse comprimento tem projeções horizontal e vertical dadas por
e
. Como a queda vertical é
, determinamos
e depois a projeção horizontal relativa.
Passo 3
Escolha do princípio físico e tradução para equações: conservação da quantidade de movimento horizontal.
- Como não há forças externas horizontais atuando no sistema (piso sem atrito), a componente horizontal da quantidade de movimento do sistema se conserva em todo o processo.
- Antes do movimento tudo está em repouso, portanto a quantidade de movimento horizontal inicial é zero. Logo, a quantidade de movimento horizontal total enquanto o bloco desce permanece zero:
onde
é a velocidade horizontal da cunha (positiva para a direita) e
é a velocidade horizontal do bloco (no mesmo eixo, medida no chão).
Breve aula: conservação de momento linear horizontal significa que se nenhuma força externa horizontal atua, a soma das massas vezes velocidades horizontais é constante. Iniciando em repouso, essa soma permanece zero.
Passo 4
Relacionar a velocidade horizontal do bloco com a velocidade da cunha e a velocidade relativa do bloco ao longo da rampa.
- Seja
a velocidade do bloco ao longo da rampa, medida em relação à cunha (isto é, velocidade ao longo do comprimento ). - A componente horizontal da velocidade do bloco, medida no referencial do chão, é a soma da velocidade da cunha
e da projeção horizontal da velocidade relativa:
- Substituindo
na equação da conservação do momento:
- Agrupando termos:
- Isolando
:
Interpretação: o sinal negativo indica que, se o bloco desce para a direita ao longo da rampa (projeção positiva), a cunha se desloca para a esquerda. O módulo da velocidade da cunha é proporcional à componente horizontal da velocidade relativa do bloco.
Passo 5
Passar de velocidades para deslocamentos: integrar no tempo.
- A velocidade relativa
varia no tempo, mas podemos usar a relação de integrais para obter o deslocamento total da cunha enquanto o bloco percorre o comprimento total da rampa. - O deslocamento horizontal da cunha
(positivo para a direita) é
- A integral
é simplesmente o deslocamento total do bloco ao longo da rampa, que é . Portanto
- Substituindo
(do Passo 2):
- Simplificando com a definição de cotangente
, obtemos o deslocamento (módulo)
- Como
, uma forma alternativa é
Comentário didático: integramos a relação entre velocidades porque a velocidade da cunha é proporcional instantaneamente à velocidade relativa do bloco; somando (integrando) ao longo do tempo obtemos o deslocamento total. Não precisamos conhecer como
varia, apenas seu deslocamento acumulado
.
Passo 6
Interpretação física final e escolha entre as alternativas.
- O sinal negativo obtido indica que a cunha se desloca na direção oposta à componente horizontal do movimento do bloco (ou seja, se o bloco vai para a direita, a cunha vai para a esquerda). Normalmente pede-se o valor do deslocamento em módulo relativo ao chão, então tomamos o valor positivo
- Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (c).