Uma cunha triangular uniforme de massa M e ângulo \theta está apoiada sobre um piso horizontal perfeitamente liso (sem atrito). Um pequeno bloco de massa m é colocado no topo da cunha a uma altura vertical H e desliza para baixo ao longo da rampa inclinada (também sem atrito). Quando o bloco atinge a base da rampa da cunha, qual foi o deslocamento horizontal da cunha em relação ao chão?
a) \frac{m H}{(M+m) \sin \theta}
b) \frac{M H}{(M+m) \tan \theta}
c) \frac{m H}{(M+m) \tan \theta}
d) \frac{m H \cos \theta}{M+m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: uma cunha triangular de massa M com ângulo da rampa igual a \theta apoiada sobre um piso perfeitamente liso (sem atrito horizontal).
  • Dado: um bloco de massa m está no topo da rampa e começa a deslizar sem atrito até a base. A queda vertical do bloco desde o topo até a base vale H.
  • Condição importante: não há forças horizontais externas (piso sem atrito), portanto a quantidade de movimento horizontal do sistema cunha+bloco é conservada.
  • Pergunta: qual o deslocamento horizontal da cunha em relação ao chão quando o bloco chega à base da rampa?

Passo 2

Analisar a geometria do movimento do bloco em relação à cunha (descrição do deslocamento relativo).
  • Seja s o comprimento percorrido pelo bloco ao longo da rampa desde o topo até a base. A componente vertical desse deslocamento ao longo da rampa é s\sin\theta.
  • Como a queda vertical total é H, tem-se
s\sin\theta = H.
  • Logo
s=\frac{H}{\sin\theta}.
  • A componente horizontal do deslocamento do bloco em relação à cunha (isto é, medida no referencial da cunha) é a projeção de s na horizontal:
\Delta x_{\text{rel}} = s\cos\theta.
  • Substituindo s:
\Delta x_{\text{rel}} = \frac{H}{\sin\theta}\cos\theta = H\cot\theta.
Explicação didática curta: o bloco desce pela rampa um comprimento s; esse comprimento tem projeções horizontal e vertical dadas por s\cos\theta e s\sin\theta. Como a queda vertical é H, determinamos s e depois a projeção horizontal relativa.

Passo 3

Escolha do princípio físico e tradução para equações: conservação da quantidade de movimento horizontal.
  • Como não há forças externas horizontais atuando no sistema (piso sem atrito), a componente horizontal da quantidade de movimento do sistema se conserva em todo o processo.
  • Antes do movimento tudo está em repouso, portanto a quantidade de movimento horizontal inicial é zero. Logo, a quantidade de movimento horizontal total enquanto o bloco desce permanece zero:
M V_w + m V_b = 0,
onde V_w é a velocidade horizontal da cunha (positiva para a direita) e V_b é a velocidade horizontal do bloco (no mesmo eixo, medida no chão).
Breve aula: conservação de momento linear horizontal significa que se nenhuma força externa horizontal atua, a soma das massas vezes velocidades horizontais é constante. Iniciando em repouso, essa soma permanece zero.

Passo 4

Relacionar a velocidade horizontal do bloco com a velocidade da cunha e a velocidade relativa do bloco ao longo da rampa.
  • Seja v_{\text{rel}} a velocidade do bloco ao longo da rampa, medida em relação à cunha (isto é, velocidade ao longo do comprimento s).
  • A componente horizontal da velocidade do bloco, medida no referencial do chão, é a soma da velocidade da cunha V_w e da projeção horizontal da velocidade relativa:
V_b = V_w + v_{\text{rel}}\cos\theta.
  • Substituindo V_b na equação da conservação do momento:
M V_w + m\bigl(V_w + v_{\text{rel}}\cos\theta\bigr)=0.
  • Agrupando termos:
(M+m)V_w + m v_{\text{rel}}\cos\theta = 0.
  • Isolando V_w:
V_w = -\frac{m\,v_{\text{rel}}\cos\theta}{M+m}.
Interpretação: o sinal negativo indica que, se o bloco desce para a direita ao longo da rampa (projeção positiva), a cunha se desloca para a esquerda. O módulo da velocidade da cunha é proporcional à componente horizontal da velocidade relativa do bloco.

Passo 5

Passar de velocidades para deslocamentos: integrar no tempo.
  • A velocidade relativa v_{\text{rel}} varia no tempo, mas podemos usar a relação de integrais para obter o deslocamento total da cunha enquanto o bloco percorre o comprimento total s da rampa.
  • O deslocamento horizontal da cunha X (positivo para a direita) é
X=\int V_w\,dt = -\frac{m\cos\theta}{M+m}\int v_{\text{rel}}\,dt.
  • A integral \displaystyle\int v_{\text{rel}}\,dt é simplesmente o deslocamento total do bloco ao longo da rampa, que é s. Portanto
X = -\frac{m\cos\theta}{M+m}\;s.
  • Substituindo s=\dfrac{H}{\sin\theta} (do Passo 2):
X = -\frac{m\cos\theta}{M+m}\cdot\frac{H}{\sin\theta} = -\frac{mH\cos\theta}{(M+m)\sin\theta}.
  • Simplificando com a definição de cotangente \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}, obtemos o deslocamento (módulo)
|X| = \frac{mH}{(M+m)}\cot\theta.
  • Como \cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}, uma forma alternativa é
|X| = \frac{mH}{(M+m)\tan\theta}.
Comentário didático: integramos a relação entre velocidades porque a velocidade da cunha é proporcional instantaneamente à velocidade relativa do bloco; somando (integrando) ao longo do tempo obtemos o deslocamento total. Não precisamos conhecer como v_{\text{rel}}(t) varia, apenas seu deslocamento acumulado s.

Passo 6

Interpretação física final e escolha entre as alternativas.
  • O sinal negativo obtido indica que a cunha se desloca na direção oposta à componente horizontal do movimento do bloco (ou seja, se o bloco vai para a direita, a cunha vai para a esquerda). Normalmente pede-se o valor do deslocamento em módulo relativo ao chão, então tomamos o valor positivo
\frac{mH}{(M+m)\tan\theta}.
  • Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

\displaystyle \frac{m H}{(M+m)\tan\theta}

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