Uma partícula desloca-se no plano cartesiano x y sob a ação de uma força bidimensional variável definida por \vec{F}(x, y)=\left(2 y \hat{i}+x^{2} \hat{j}\right) N. Calcule o trabalho realizado por esta força sobre a partícula ao longo da trajetória retilínea direta que une a origem (0,0) ao ponto (2,4).
a) 8,0 \mathrm{~J}
b) 12 J
c) \frac{40}{3} \mathrm{~J}
d) \frac{32}{3} \mathrm{~J}
Passo 1
O enunciado dá:
A força bidimensional \vec{F}(x,y)=\bigl(2y\,\hat{i}+x^{2}\,\hat{j}\bigr) (em newtons).
A trajetória é a reta que une a origem (0,0) ao ponto (2,4).
O que se pede:
Calcular o trabalho realizado por \vec{F} ao longo dessa trajetória retilínea.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (definição de trabalho para força variável sobre curva):
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Explicando essa fórmula de forma bem prática:
C é a curva (trajetória) seguida pela partícula.
d\vec{r}=(dx)\,\hat{i}+(dy)\,\hat{j} é o vetorzinho que indica um deslocamento infinitesimal ao longo da curva.
\vec{F}\cdot d\vec{r} é o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal; ele representa a contribuição elementar de trabalho dW.
Então somamos (integrando) essas contribuições ao longo de toda a curva C.
Passo 3
Escolhendo uma parametrização simples para a reta de (0,0) a (2,4).
Uma parametrização linear natural é tomar um parâmetro t variando de 0 a 1 e escrever:
x(t)=2t,\qquad y(t)=4t,\qquad 0\le t\le1.
Verificação rápida: para t=0 obtemos (0,0) e para t=1 obtemos (2,4). Isso cobre exatamente a reta entre os dois pontos.
Passo 4
Expressar d\vec{r} em termos de t.
Derivando as componentes:
essas derivadas parciais não são iguais para todo (x,y), então o trabalho depende da trajetória em geral. Por isso é correto parametrizar a reta e integrar como fizemos.