Uma partícula desloca-se no plano cartesiano x y sob a ação de uma força bidimensional variável definida por \vec{F}(x, y)=\left(2 y \hat{i}+x^{2} \hat{j}\right) N. Calcule o trabalho realizado por esta força sobre a partícula ao longo da trajetória retilínea direta que une a origem (0,0) ao ponto (2,4).
a) 8,0 \mathrm{~J}
b) 12 J
c) \frac{40}{3} \mathrm{~J}
d) \frac{32}{3} \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado dá:
  • A força bidimensional \vec{F}(x,y)=\bigl(2y\,\hat{i}+x^{2}\,\hat{j}\bigr) (em newtons).
  • A trajetória é a reta que une a origem (0,0) ao ponto (2,4).
    O que se pede:
  • Calcular o trabalho realizado por \vec{F} ao longo dessa trajetória retilínea.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (definição de trabalho para força variável sobre curva):
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Explicando essa fórmula de forma bem prática:
  • C é a curva (trajetória) seguida pela partícula.
  • d\vec{r}=(dx)\,\hat{i}+(dy)\,\hat{j} é o vetorzinho que indica um deslocamento infinitesimal ao longo da curva.
  • \vec{F}\cdot d\vec{r} é o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal; ele representa a contribuição elementar de trabalho dW.
  • Então somamos (integrando) essas contribuições ao longo de toda a curva C.

Passo 3

Escolhendo uma parametrização simples para a reta de (0,0) a (2,4).
Uma parametrização linear natural é tomar um parâmetro t variando de 0 a 1 e escrever:
x(t)=2t,\qquad y(t)=4t,\qquad 0\le t\le1.
Verificação rápida: para t=0 obtemos (0,0) e para t=1 obtemos (2,4). Isso cobre exatamente a reta entre os dois pontos.

Passo 4

Expressar d\vec{r} em termos de t.
Derivando as componentes:
\frac{dx}{dt}=2,\qquad \frac{dy}{dt}=4.
Portanto
d\vec{r}=\bigl(dx\,\hat{i}+dy\,\hat{j}\bigr)=\bigl(2\,dt\,\hat{i}+4\,dt\,\hat{j}\bigr).

Passo 5

Avaliar \vec{F} ao longo da curva, substituindo x(t) e y(t):
\vec{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(2y(t)\,\hat{i}+x(t)^{2}\,\hat{j}\bigr) =\bigl(2\cdot(4t)\,\hat{i}+(2t)^{2}\,\hat{j}\bigr) =\bigl(8t\,\hat{i}+4t^{2}\,\hat{j}\bigr).

Passo 6

Calcular o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} em função de t:
\vec{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot d\vec{r} =\bigl(8t,\,4t^{2}\bigr)\cdot\bigl(2\,dt,\,4\,dt\bigr) = \bigl(8t\cdot2 + 4t^{2}\cdot4\bigr)\,dt.
Simplificando os coeficientes:
\vec{F}\cdot d\vec{r}=\bigl(16t + 16t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 7

Integrar de t=0 até t=1 para obter o trabalho:
W=\int_{0}^{1}\bigl(16t+16t^{2}\bigr)\,dt.
Calculemos passo a passo:
\int_{0}^{1}16t\,dt =16\cdot\frac{t^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=16\cdot\frac{1}{2}=8,
\int_{0}^{1}16t^{2}\,dt =16\cdot\frac{t^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=16\cdot\frac{1}{3}=\frac{16}{3}.
Somando as duas partes:
W=8+\frac{16}{3}=\frac{24}{3}+\frac{16}{3}=\frac{40}{3}\\ \text{J}.

Passo 8

Comentário prático (rápido): nota-se que \vec{F} não é conservativa no plano inteiro porque
\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2\quad\text{e}\quad\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,
essas derivadas parciais não são iguais para todo (x,y), então o trabalho depende da trajetória em geral. Por isso é correto parametrizar a reta e integrar como fizemos.

Resposta

c) \dfrac{40}{3}\\ \mathrm{J}

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