Um bloco de massa
choca-se de frente com uma mola não linear projetada sob medida que exerce uma força restauradora do tipo
, onde
e
. No instante do choque, o bloco tem uma velocidade de
e a mola está em seu comprimento relaxado. Desprezando perdas por atrito, qual será a compressão máxima
sofrida pela mola até o bloco parar momentaneamente?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, para ficar tudo claro desde o começo.
- Massa do bloco:
. - Velocidade inicial do bloco no instante do choque:
. - A mola está inicialmente no comprimento relaxado (ou seja, sem energia elástica armazenada em
). - Força restauradora da mola:
, com e . - Desprezam-se perdas por atrito (energia mecânica conservada entre cinética inicial e energia armazenada na mola).
- Pergunta: qual será a compressão máxima
sofrida pela mola até o bloco parar momentaneamente? (Opções: a) ; b) ; c) ; d) .)
Passo 2
Explicação física e fórmula fundamental que vamos usar.
Quando não há perdas por atrito, a energia mecânica total se conserva. Aqui, a energia inicial é puramente cinética do bloco e, no ponto de compressão máxima, a velocidade do bloco é zero e toda a energia cinética inicial terá sido convertida em energia potencial elástica da mola. Logo, a relação é:
onde
é a energia potencial armazenada na mola quando comprimida de
até
.
Agora precisamos achar
a partir da força
. Em mecânica, a relação entre força conservativa e energia potencial é
Isto significa que
Integrando essa expressão desde
até
(e escolhendo
porque a mola está relaxada inicialmente), obtemos:
Aqui cada símbolo significa:
-
: energia potencial elástica armazenada quando a mola está comprimida por ; -
: constante linear da mola ( ); -
: coeficiente do termo cúbico ( ); -
: compressão (positivo) da mola em metros.
Passo 3
Aplicando conservação de energia com a expressão de
.
Energia cinética inicial do bloco:
Calculemos passo a passo:
Portanto a energia disponível é
.
Igualando à energia potencial da mola:
Substituindo
e
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Resolvendo a equação para
.
A equação é
Como só aparecem potências pares de
, é conveniente fazer a substituição
(assim
). A equação em
fica:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Isto é uma equação quadrática padrão
com
,
,
. A solução é dada pela fórmula quadrática:
Calculemos o discriminante:
A raiz quadrada é
.
Então
As duas possibilidades são:
Como
não pode ser negativa, rejeitamos
. Assim
Tomando raiz quadrada (e lembrando que
é compressão positiva):
Passo 5
Observações finais e verificação rápida.
- O valor encontrado
é compatível com a opção (c). - Faz sentido físico: energia cinética moderada (
) é absorvida pela combinação termo quadrático e termo quartico da mola; o termo quartico começa a contribuir mais a compressões maiores, e o resultado é um único e positivo.
Resposta
c)