Um bloco de massa 1,2 \mathrm{~kg} choca-se de frente com uma mola não linear projetada sob medida que exerce uma força restauradora do tipo F(x)=-k x-\beta x^{3}, onde k=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e \beta=1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. No instante do choque, o bloco tem uma velocidade de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a mola está em seu comprimento relaxado. Desprezando perdas por atrito, qual será a compressão máxima x sofrida pela mola até o bloco parar momentaneamente?
a) 0,10 \mathrm{~m}
b) 0,15 \mathrm{~m}
c) 0,20 \mathrm{~m}
d) 0,25 \mathrm{~m}

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, para ficar tudo claro desde o começo.
  • Massa do bloco: m=1,2\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bloco no instante do choque: v_0=2,0\\ \mathrm{m/s}.
  • A mola está inicialmente no comprimento relaxado (ou seja, sem energia elástica armazenada em x=0).
  • Força restauradora da mola: F(x)=-k x - \beta x^{3}, com k=100\\ \mathrm{N/m} e \beta=1000\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Desprezam-se perdas por atrito (energia mecânica conservada entre cinética inicial e energia armazenada na mola).
  • Pergunta: qual será a compressão máxima x sofrida pela mola até o bloco parar momentaneamente? (Opções: a) 0,10\\ \mathrm{m}; b) 0,15\\ \mathrm{m}; c) 0,20\\ \mathrm{m}; d) 0,25\\ \mathrm{m}.)

Passo 2

Explicação física e fórmula fundamental que vamos usar.
Quando não há perdas por atrito, a energia mecânica total se conserva. Aqui, a energia inicial é puramente cinética do bloco e, no ponto de compressão máxima, a velocidade do bloco é zero e toda a energia cinética inicial terá sido convertida em energia potencial elástica da mola. Logo, a relação é:
\frac{1}{2} m v_0^{2} = U(x_{\text{máx}})á
onde U(x) é a energia potencial armazenada na mola quando comprimida de 0 até x.
Agora precisamos achar U(x) a partir da força F(x). Em mecânica, a relação entre força conservativa e energia potencial é
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Isto significa que
\frac{dU}{dx} = -F(x) = k x + \beta x^{3}.
Integrando essa expressão desde 0 até x (e escolhendo U(0)=0 porque a mola está relaxada inicialmente), obtemos:
U(x)=\int_{0}^{x} (k x' + \beta x'^{3})\,dx' = \left[\tfrac{1}{2}k x'^{2} + \tfrac{1}{4}\beta x'^{4}\right]_{0}^{x} = \tfrac{1}{2}k x^{2} + \tfrac{1}{4}\beta x^{4}.
Aqui cada símbolo significa:
  • U(x): energia potencial elástica armazenada quando a mola está comprimida por x;
  • k: constante linear da mola ( \mathrm{N/m});
  • \beta: coeficiente do termo cúbico ( \mathrm{N/m^{3}});
  • x: compressão (positivo) da mola em metros.

Passo 3

Aplicando conservação de energia com a expressão de U(x).
Energia cinética inicial do bloco:
\frac{1}{2} m v_0^{2} = \frac{1}{2}\cdot(1,2)\cdot(2,0)^{2}.
Calculemos passo a passo:
(2,0)^{2}=4,0,
\frac{1}{2}\cdot1,2\cdot4,0 = 0,6\cdot4,0 = 2,4\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia disponível é \;2,4\\ \mathrm{J}.
Igualando à energia potencial da mola:
2,4 = \tfrac{1}{2}k x^{2} + \tfrac{1}{4}\beta x^{4}.
Substituindo k=100 e \beta=1000:
2,4 = \tfrac{1}{2}\cdot100\,x^{2} + \tfrac{1}{4}\cdot1000\,x^{4}.
Simplificando os coeficientes:
2,4 = 50\,x^{2} + 250\,x^{4}.

Passo 4

Resolvendo a equação para x.
A equação é
250\,x^{4} + 50\,x^{2} - 2,4 = 0.
Como só aparecem potências pares de x, é conveniente fazer a substituição y = x^{2} (assim y\ge 0). A equação em y fica:
250\,y^{2} + 50\,y - 2,4 = 0.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
125\,y^{2} + 25\,y - 1,2 = 0.
Isto é uma equação quadrática padrão a y^{2} + b y + c = 0 com a=125, b=25, c=-1,2. A solução é dada pela fórmula quadrática:
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.
Calculemos o discriminante:
\Delta = b^{2} - 4ac = 25^{2} - 4\cdot125\cdot(-1,2) = 625 + 600 = 1225.
A raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=\sqrt{1225}=35.
Então
y = \frac{-25 \pm 35}{2\cdot125} = \frac{-25 \pm 35}{250}.
As duas possibilidades são:
y_{1} = \frac{-25 + 35}{250} = \frac{10}{250} = 0,04,
y_{2} = \frac{-25 - 35}{250} = \frac{-60}{250} = -0,24.
Como y=x^{2} não pode ser negativa, rejeitamos y_{2}. Assim
y = x^{2} = 0,04.
Tomando raiz quadrada (e lembrando que x é compressão positiva):
x = \sqrt{0,04} = 0,20\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Observações finais e verificação rápida.
  • O valor encontrado x=0,20\\ \mathrm{m} é compatível com a opção (c).
  • Faz sentido físico: energia cinética moderada ( 2,4\\ \mathrm{J}) é absorvida pela combinação termo quadrático e termo quartico da mola; o termo quartico começa a contribuir mais a compressões maiores, e o resultado é um x único e positivo.

Resposta

c) 0,20\\ \mathrm{m}

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