Quais dos cunjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathcal{P}_{3} ? Justifique sua resposta.
\left\{1, x^{2}, x^{2}-2\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \{1, x^{2}, x^{2}-2\} é um conjunto de cobertura (ou seja, um conjunto gerador / spanning set) para \mathcal{P}_{3}. Informações dadas:
  • O espaço considerado é \mathcal{P}_{3}, que é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3.
  • O conjunto a testar é \{1, x^{2}, x^{2}-2\}.
    A pergunta é: esse conjunto gera todo \mathcal{P}_{3}? (Justificar.)

Passo 2

Definição e estratégia: um conjunto S é conjunto de cobertura (spanning set) de \mathcal{P}_{3} se todo polinômio p(x)\in\mathcal{P}_{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores (polinômios) de S. Ou seja, para todo
p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^{2}+a_3 x^{3}\in\mathcal{P}_{3}
existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
p(x)=\alpha\cdot 1+\beta\cdot x^{2}+\gamma\cdot (x^{2}-2).
Duas estratégias simples: (i) usar dependência linear entre os elementos do conjunto para reduzir o gerador e ver o espaço gerado; (ii) mostrar explicitamente um polinômio de \mathcal{P}_{3} que não pode ser obtido por combinações lineares dos elementos do conjunto.

Passo 3

Verificar dependência linear entre os elementos do conjunto. Note que
x^{2}-2 = 1\cdot x^{2} + (-2)\cdot 1,
ou seja, o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros. Conclusão: os três vetores são linearmente dependentes e, em particular, o sistema gera o mesmo subespaço gerado por \{1,x^{2}\}. Em notação:
\mathrm{span}\{1,x^{2},x^{2}-2\}=\mathrm{span}\{1,x^{2}\}.

Passo 4

Descrever explicitamente o subespaço gerado por \{1,x^{2}\}. Qualquer combinação linear de 1 e x^{2} tem a forma
\alpha\cdot 1+\beta\cdot x^{2}=\alpha+\beta x^{2},
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Portanto
\mathrm{span}\{1,x^{2}\}=\{ \alpha+\beta x^{2} \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\},
que é o subespaço dos polinômios que têm apenas termos de grau 0 e 2 (coeficiente de x e x^{3} nulos).

Passo 5

Mostrar que esse subespaço não é todo \mathcal{P}_{3}: basta exibir um polinômio em \mathcal{P}_{3} que não pertence a \mathrm{span}\{1,x^{2}\}. Por exemplo, considere q(x)=x. Se existissem \alpha,\beta tais que
x=\alpha+\beta x^{2},
então comparando coeficientes do polinômio à esquerda e à direita obteríamos:
  • coeficiente de x: 1= coeficiente de x à direita =0, contradicção;
  • coeficiente de x^{2}: 0=\beta;
  • termo constante: 0=\alpha.
    A contradição no coeficiente de x mostra que x\not\in\mathrm{span}\{1,x^{2}\}.

Passo 6

Consequência dimensional (intuição extra): \mathcal{P}_{3} tem dimensão 4 (base usual \{1,x,x^{2},x^{3}\}). O conjunto dado gera no máximo um subespaço de dimensão 2 (já que \{1,x^{2}\} são, no máximo, duas vetores independentes). Portanto não é possível gerar todo um espaço de dimensão 4 com esses vetores. Isto reforça que o conjunto não é gerador de \mathcal{P}_{3}.

Passo 7

Conclusão final: o conjunto \{1,x^{2},x^{2}-2\} não é conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3}, porque gera apenas o subespaço dos polinômios da forma \alpha+\beta x^{2} e não permite obter polinômios que possuam termos em x ou x^{3}, como x ou x^{3}.

Resposta

Não; \{1,x^{2},x^{2}-2\} não é conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3}.

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