Quais dos cunjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um conjunto de cobertura (ou seja, um conjunto gerador / spanning set) para
. Informações dadas:
- O espaço considerado é
, que é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - O conjunto a testar é
.
A pergunta é: esse conjunto gera todo? (Justificar.)
Passo 2
Definição e estratégia: um conjunto
é conjunto de cobertura (spanning set) de
se todo polinômio
pode ser escrito como combinação linear dos vetores (polinômios) de
. Ou seja, para todo
existem escalares
tais que
Duas estratégias simples: (i) usar dependência linear entre os elementos do conjunto para reduzir o gerador e ver o espaço gerado; (ii) mostrar explicitamente um polinômio de
que não pode ser obtido por combinações lineares dos elementos do conjunto.
Passo 3
Verificar dependência linear entre os elementos do conjunto. Note que
ou seja, o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros. Conclusão: os três vetores são linearmente dependentes e, em particular, o sistema gera o mesmo subespaço gerado por
. Em notação:
Passo 4
Descrever explicitamente o subespaço gerado por
. Qualquer combinação linear de
e
tem a forma
onde
. Portanto
que é o subespaço dos polinômios que têm apenas termos de grau
e
(coeficiente de
e
nulos).
Passo 5
Mostrar que esse subespaço não é todo
: basta exibir um polinômio em
que não pertence a
. Por exemplo, considere
. Se existissem
tais que
então comparando coeficientes do polinômio à esquerda e à direita obteríamos:
- coeficiente de
: coeficiente de à direita , contradicção; - coeficiente de
: ; - termo constante:
.
A contradição no coeficiente demostra que .
Passo 6
Consequência dimensional (intuição extra):
tem dimensão
(base usual
). O conjunto dado gera no máximo um subespaço de dimensão
(já que
são, no máximo, duas vetores independentes). Portanto não é possível gerar todo um espaço de dimensão
com esses vetores. Isto reforça que o conjunto não é gerador de
.
Passo 7
Conclusão final: o conjunto
não é conjunto de cobertura para
, porque gera apenas o subespaço dos polinômios da forma
e não permite obter polinômios que possuam termos em
ou
, como
ou
.
Resposta
Não;
não é conjunto de cobertura para
.