Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathbb{R}^{3} ? \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right)\right\}
Passo 1
O enunciado dá um único conjunto com dois vetores em \mathbb{R}^{3}:
A pergunta é: esse conjunto é um conjunto de cobertura (ou seja, gera todo \mathbb{R}^{3})?]
Passo 2
Vamos deixar claro o que significa “conjunto de cobertura” (gerador, span). Um conjunto de vetores \{v_{1},v_{2},\dots\} é um conjunto de cobertura de \mathbb{R}^{3} se toda w\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrita como combinação linear:
w = \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots
onde os coeficientes \alpha_{i} são reais. Em outras palavras, o espaço gerado (o span) desses vetores deve ser todo \mathbb{R}^{3}.
Passo 3
Uma observação teórica importante (útil na prova): o espaço \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3. Isso implica duas coisas práticas e fáceis de usar:
Qualquer conjunto com menos de 3 vetores não pode gerar todo \mathbb{R}^{3} (no máximo gera um subespaço de dimensão \le 2).
Para gerar \mathbb{R}^{3} é necessário ter pelo menos 3 vetores linearmente independentes.
Portanto, olhando só o tamanho do conjunto (tem dois vetores), já suspeitamos que não é suficiente para cobrir \mathbb{R}^{3}. Mas vamos mostrar isso de modo concreto, com um contraexemplo explícito — método que costuma funcionar bem em provas.
Passo 4
Escrevemos a condição de que um vetor arbitrário \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}\) pertença ao span dos dois vetores dados; isso significa que existem \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que
\[a\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Escrevendo as componentes isso dá o sistema
\begin{cases} a = x,\\[4pt] a + 2b = y,\\[4pt] 3a + b = z. \end{cases}
Note que esse é um sistema com duas incógnitas (a,b\]) e três equações: em geral não é possível satisfazer todas as três equações para a escolha arbitrária de \((x,y,z).]
Passo 5
Para tornar a impossibilidade óbvia, basta escolher um vetor concreto de \mathbb{R}^{3}\) e mostrar que não existe \(a,b\) que o represente como combinação linear. Tentemos com \(\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\). Substituindo no sistema obtemos
\[\begin{cases} a = 1,\\[4pt] a + 2b = 0,\\[4pt] 3a + b = 0. \end{cases}
Da primeira equação a=1\]. Substituindo na segunda dá \(1+2b=0\Rightarrow b=-\tfrac{1}{2}. Substituindo na terceira dá
Como existe pelo menos um vetor de \mathbb{R}^{3} (o que mostramos) que não é combinação linear dos dois vetores dados, o span dos dois vetores é um subespaço propriamente menor que \mathbb{R}^{3} (na verdade uma reta ou um plano — aqui é um plano porque os dois vetores não são múltiplos um do outro). Logo o conjunto não gera todo \mathbb{R}^{3}.
Resposta
O conjunto não é conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}.