Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathbb{R}^{3} ? \left\{\left(\begin{array}{c}2 \\\\ 1 \\\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2 \\\\ 4 \\\\ -4\end{array}\right)\right\}
Passo 1
O enunciado pede verificar se o conjunto dado é um conjunto de cobertura (isto é, se gera ou “spans”) para \mathbb{R}^{3}.
Pergunta explicitamente: esse conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}?]
Passo 2
O que significa ser “conjunto de cobertura” para \mathbb{R}^{3}? Vou explicar passo a passo.
Um conjunto de vetores gera (ou “cobre”) \mathbb{R}^{3} se qualquer vetor w\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto, ou seja, se existem escalares a,b,c tais que
w=a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}.
Uma condição prática: para um conjunto de exatamente três vetores em \mathbb{R}^3, eles geram todo \mathbb{R}^3 se e somente se forem linearmente independentes (equivalente à matriz formada por eles ter posto 3 ou determinante não nulo, quando colocados como colunas).
Vou checar dependência linear entre os vetores — se houver dependência não podem ser três independentes, logo não geram \mathbb{R}^{3}.
Passo 3
Comparar v_{2} com v_{1}. Calcule multiplicando v_{1} por -1:
O subespaço gerado por dois vetores tem dimensão no máximo 2 (é uma reta ou um plano através da origem). Assim o posto (rank) do conjunto é no máximo 2, jamais 3. Para cobrir \mathbb{R}^{3} é necessário posto 3. Logo esse conjunto não pode gerar todo \mathbb{R}^{3}.
Passo 6
Resumo final da razão: apareceu uma dependência linear óbvia (v_{2}=-v_{1}), então há no máximo duas direções independentes entre os três vetores; com isso não é possível obter todos os vetores de \mathbb{R}^{3} por combinações lineares desses três.
Resposta
O conjunto dado não é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}.