Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathbb{R}^{3} ?
\left\{\left(\begin{array}{c}2 \\\\ 1 \\\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2 \\\\ 4 \\\\ -4\end{array}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado pede verificar se o conjunto dado é um conjunto de cobertura (isto é, se gera ou “spans”) para \mathbb{R}^{3}.
Os vetores fornecidos são
v_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Pergunta explicitamente: esse conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}?]

Passo 2

O que significa ser “conjunto de cobertura” para \mathbb{R}^{3}? Vou explicar passo a passo.
Um conjunto de vetores gera (ou “cobre”) \mathbb{R}^{3} se qualquer vetor w\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto, ou seja, se existem escalares a,b,c tais que
w=a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}.
Uma condição prática: para um conjunto de exatamente três vetores em \mathbb{R}^3, eles geram todo \mathbb{R}^3 se e somente se forem linearmente independentes (equivalente à matriz formada por eles ter posto 3 ou determinante não nulo, quando colocados como colunas).
Vou checar dependência linear entre os vetores — se houver dependência não podem ser três independentes, logo não geram \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Comparar v_{2} com v_{1}. Calcule multiplicando v_{1} por -1:
-1\cdot v_{1}=-1\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Observa-se que
v_{2}=-v_{1}.]

Passo 4

Da igualdade v_{2}=-v_{1} segue que existe uma relação linear não trivial entre os vetores:
v_{1}+v_{2}=0,
ou seja, com coeficientes 1 e 1 (e 0 para v_{3}) obtém-se a combinação linear nula. Portanto v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes.

Passo 5

Consequência prática: como v_{2} é múltiplo de v_{1}, o espaço gerado pelos três vetores é o mesmo que o gerado por v_{1} e v_{3}:
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\operatorname{span}\{v_{1},v_{3}\}.
O subespaço gerado por dois vetores tem dimensão no máximo 2 (é uma reta ou um plano através da origem). Assim o posto (rank) do conjunto é no máximo 2, jamais 3. Para cobrir \mathbb{R}^{3} é necessário posto 3. Logo esse conjunto não pode gerar todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Resumo final da razão: apareceu uma dependência linear óbvia ( v_{2}=-v_{1}), então há no máximo duas direções independentes entre os três vetores; com isso não é possível obter todos os vetores de \mathbb{R}^{3} por combinações lineares desses três.

Resposta

O conjunto dado não é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}.

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