A current filament carrying 15 A in the
direction lies along the entire
axis. Find
in cartesian coordinates at:
P_{B}(2,-4,4).
P_{B}(2,-4,4).
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Um fio condutor infinito ao longo do eixo
transporta uma corrente na direção (ou seja, sentido ). - Pede-se encontrar o campo magnético de intensidade
(em coordenadas cartesianas) no ponto .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as coordenadas do pontoe o valor da corrente .
Passo 2
Resultado padrão para o campo magnético de um fio retilíneo infinito:
Explicando essa fórmula e cada símbolo:
-
é a corrente elétrica no fio (aqui ). -
é a distância radial do ponto ao eixo do fio (distância no plano ao eixo ). -
é o versor na direção azimutal (tangente à circunferência centrada no eixo ); o campo circula em torno do eixo segundo a regra da mão direita (para corrente em , tem a orientação de ).
Breve justificativa: essa expressão pode ser obtida por lei de Ampère ou por Biot–Savart para um fio infinito; aqui usamos o resultado conhecido porque é o método mais direto para fios infinitos.
Passo 3
Calcular
para o ponto dado. Pela definição de coordenadas cartesianas/cilíndricas:
Substituindo
e
:
Também será útil
.
Passo 4
Expressar
em componentes cartesianas. Usando as relações padrão entre versores:
Em termos de
isso fica
Explicando:
aponta radialmente para fora do eixo
e
é tangente no sentido crescente de
; escrevemos
em função de
para poder obter componentes cartesianas diretamente.
Passo 5
Substituir
na fórmula de
:
Essa forma é muito prática: dá as componentes
e
diretamente em termos de
. Observe que
não depende de
para um fio infinito.
Passo 6
Substituir
,
,
e
na expressão:
Calcular o coeficiente numérico:
Calcular as componentes usando
e
:
Unidades:
em ampère por metro
.
Se desejar aproximações numéricas:
Se desejar aproximações numéricas:
Passo 7
Escrever o vetor final em coordenadas cartesianas: