A current filament carrying 15 A in the \mathbf{a}_{z} direction lies along the entire z axis. Find \mathbf{H} in cartesian coordinates at:
P_{B}(2,-4,4).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Um fio condutor infinito ao longo do eixo z transporta uma corrente I=15\\ \mathrm{A} na direção \mathbf{a}_z (ou seja, sentido +z).
  • Pede-se encontrar o campo magnético de intensidade \mathbf{H} (em coordenadas cartesianas) no ponto P_B(2,-4,4).
    Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as coordenadas do ponto (x,y,z)=(2,-4,4) e o valor da corrente I=15\\ \mathrm{A}.

Passo 2

Resultado padrão para o campo magnético de um fio retilíneo infinito: \mathbf{H}=\frac{I}{2\pi \rho}\,\hat{\varphi}.
Explicando essa fórmula e cada símbolo:
  • I é a corrente elétrica no fio (aqui I=15\\ \mathrm{A}).
  • \rho é a distância radial do ponto ao eixo do fio (distância no plano xy ao eixo z).
  • \hat{\varphi} é o versor na direção azimutal (tangente à circunferência centrada no eixo z); o campo circula em torno do eixo z segundo a regra da mão direita (para corrente em +z, \mathbf{H} tem a orientação de \hat{\varphi}).
    Breve justificativa: essa expressão pode ser obtida por lei de Ampère ou por Biot–Savart para um fio infinito; aqui usamos o resultado conhecido porque é o método mais direto para fios infinitos.

Passo 3

Calcular \rho para o ponto dado. Pela definição de coordenadas cartesianas/cilíndricas: \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo x=2 e y=-4: \rho=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}.
Também será útil \rho^{2}=20.

Passo 4

Expressar \hat{\varphi} em componentes cartesianas. Usando as relações padrão entre versores:
\hat{r}=\frac{x}{\rho}\,\hat{x}+\frac{y}{\rho}\,\hat{y},\qquad \hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{x}+\cos\varphi\,\hat{y}.
Em termos de x,y isso fica
\hat{\varphi}=-\frac{y}{\rho}\,\hat{x}+\frac{x}{\rho}\,\hat{y}.
Explicando: \hat{r} aponta radialmente para fora do eixo z e \hat{\varphi} é tangente no sentido crescente de \varphi; escrevemos \hat{\varphi} em função de x,y para poder obter componentes cartesianas diretamente.

Passo 5

Substituir \hat{\varphi} na fórmula de \mathbf{H}:
\mathbf{H}=\frac{I}{2\pi\rho}\left(-\frac{y}{\rho}\,\hat{x}+\frac{x}{\rho}\,\hat{y}\right) =\frac{I}{2\pi\rho^{2}}\big(-y\,\hat{x}+x\,\hat{y}\big).
Essa forma é muito prática: dá as componentes H_x e H_y diretamente em termos de x,y,\rho. Observe que \mathbf{H} não depende de z para um fio infinito.

Passo 6

Substituir I=15\\ \mathrm{A}, x=2, y=-4 e \rho^{2}=20 na expressão:
\mathbf{H}=\frac{15}{2\pi\cdot 20}\big(-(-4)\,\hat{x}+2\,\hat{y}\big).
Calcular o coeficiente numérico:
\frac{15}{2\pi\cdot 20}=\frac{15}{40\pi}=\frac{3}{8\pi}.
Calcular as componentes usando -y=4 e x=2:
H_x=\frac{3}{8\pi}\cdot 4=\frac{12}{8\pi}=\frac{3}{2\pi}, \qquad H_y=\frac{3}{8\pi}\cdot 2=\frac{6}{8\pi}=\frac{3}{4\pi}.
Unidades: \mathbf{H} em ampère por metro (\mathrm{A/m}).
Se desejar aproximações numéricas:
\frac{3}{2\pi}\approx 0{,}477\\ \mathrm{A/m},\qquad \frac{3}{4\pi}\approx 0{,}239\\ \mathrm{A/m}.

Passo 7

Escrever o vetor final em coordenadas cartesianas:
\mathbf{H}=\frac{3}{2\pi}\,\hat{x}+\frac{3}{4\pi}\,\hat{y}\quad(\mathrm{A/m}).

Resposta

\mathbf{H}(2,-4,4)=\frac{3}{2\pi}\,\hat{x}+\frac{3}{4\pi}\,\hat{y}\\ \mathrm{A/m}\approx 0{,}477\,\hat{x}+0{,}239\,\hat{y}\\ \mathrm{A/m}

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