• Exercício de participação (entregar dia 11/11/2025):
  • Determinar o campo H em coordenadas cartesianas no ponto ( 1,3,2 ) devido a dois filamentos retilíneos e infinitos de corrente, tais que:
  • filamento 1: paralelo ao eixo x , passando pelo ponto (2,-2,5), com corrente de 20 A , sentido x positivo
  • filamento 2: paralelo ao eixo y, passando pelo ponto ( -3,4,4 ), com corrente de 17 A , sentido y negativo

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados (listando tudo explicitamente):
  • Ponto onde queremos o campo: \,(1,3,2)\,.
  • Filamento 1:
    • Linha paralela ao eixo x que passa por (2,-2,5).
    • Corrente I_1 = 20\\ \text{A} no sentido positivo de x.
  • Filamento 2:
    • Linha paralela ao eixo y que passa por (-3,4,4).
    • Corrente I_2 = 17\\ \text{A} no sentido negativo de y (ou seja, direção -\hat{\mathbf{y}}).
  • Pedido: determinar o campo magnético de intensidade \mathbf{H} (em coordenadas cartesianas) no ponto (1,3,2) devido às duas correntes (vetor total \mathbf{H}=\mathbf{H}_1+\mathbf{H}_2).

Passo 2

Fórmula e ideia física que vamos usar (explicada com calma):
  • Para um fio retilíneo, infinito, com corrente I, em espaço livre o campo \mathbf{H} tem magnitude
H=\frac{I}{2\pi r},
onde r é a distância perpendicular do fio até o ponto de observação. A direção de \mathbf{H} é tangencial ao círculo ao redor do fio (regra da mão direita).
  • Para obter uma expressão vetorial conveniente usamos a forma:
\mathbf{H}=\frac{I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}
onde \hat{\boldsymbol{\varphi}} é o vetor unitário azimutal (tangencial). Em termos vetoriais práticos é útil a forma
\mathbf{H}=\frac{I}{2\pi r^2}\,(\hat{\mathbf{u}}\times \mathbf{r}_\perp),
onde:
  • \hat{\mathbf{u}} é o vetor unitário ao longo do fio (direção da corrente),
  • \mathbf{r}_\perp é o vetor que vai de um ponto qualquer do fio até o ponto de observação e é perpendicular ao fio (ou seja, a componente perpendicular de \mathbf{r}),
  • r=|\mathbf{r}_\perp|.
    Essa forma é derivada da Lei de Biot–Savart aplicada ao fio infinito e é prática porque evita integrar: basta construir \mathbf{r}_\perp, fazer o produto vetorial e aplicar o fator escalar.

Passo 3

Como obter \mathbf{r}_\perp para cada fio (regra prática):
  • Se o fio é paralelo a x ( \hat{\mathbf{u}}=(1,0,0)), a componente perpendicular de \mathbf{r} é obtida zerando a componente x: para um ponto do fio P_1=(x_1,y_1,z_1) e ponto de observação P=(x,y,z),
\mathbf{r}_\perp = (0,\;y-y_1,\;z-z_1).
  • Se o fio é paralelo a y ( \hat{\mathbf{u}}=(0,1,0) ou (0,-1,0) conforme o sentido), a componente perpendicular é zerar a componente y:
\mathbf{r}_\perp = (\,x-x_2,\;0,\;z-z_2\,).
Vamos aplicar isso com os dados.

Passo 4

Cálculo para o filamento 1 (paralelo a x):
  • Dados: P_1=(2,-2,5), corrente I_1=20\\ \text{A}, direção \hat{\mathbf{u}}_1=(1,0,0).
  • Ponto de observação P=(1,3,2).
  • Vetor perpendicular:
\mathbf{r}_{\perp 1} = (0,\;3-(-2),\;2-5)=(0,\;5,\;-3).
  • Norma e quadrado da norma:
r_1 = |\mathbf{r}_{\perp 1}|=\sqrt{5^2+(-3)^2}=\sqrt{34},\qquad r_1^2=34.
  • Produto vetorial \hat{\mathbf{u}}_1\times\mathbf{r}_{\perp 1}. Fazendo o cálculo componente a componente:
    • \hat{\mathbf{u}}_1=(1,0,0), \mathbf{r}_{\perp 1}=(0,5,-3).
    • \hat{\mathbf{u}}_1\times\mathbf{r}_{\perp 1}=(0,\,3,\,5). (Detalhe do cálculo: componente x é 0\cdot(-3)-0\cdot5=0; y é 0\cdot0-1\cdot(-3)=3; z é 1\cdot5-0\cdot0=5.)
  • Agora a expressão vetorial:
\mathbf{H}_1=\frac{I_1}{2\pi r_1^2}\,(\hat{\mathbf{u}}_1\times\mathbf{r}_{\perp 1}) =\frac{20}{2\pi\cdot 34}\,(0,\,3,\,5).
  • Simplificando o fator escalar:
\frac{20}{2\pi\cdot 34}=\frac{10}{34\pi}=\frac{5}{17\pi}.
  • Logo
\mathbf{H}_1=\frac{5}{17\pi}\,(0,\,3,\,5)=\left(0,\;\frac{15}{17\pi},\;\frac{25}{17\pi}\right)\\ \text{A/m}.

Passo 5

Cálculo para o filamento 2 (paralelo a y, sentido negativo):
  • Dados: P_2=(-3,4,4), corrente I_2=17\\ \text{A} no sentido negativo de y, então \hat{\mathbf{u}}_2=(0,-1,0).
  • Ponto de observação P=(1,3,2).
  • Vetor perpendicular:
\mathbf{r}_{\perp 2}=(\,1-(-3),\;0,\;2-4\,)=(4,\;0,\;-2).
  • Norma e quadrado:
r_2=|\mathbf{r}_{\perp 2}|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20},\qquad r_2^2=20.
  • Produto vetorial \hat{\mathbf{u}}_2\times\mathbf{r}_{\perp 2}:
    • \hat{\mathbf{u}}_2=(0,-1,0), \mathbf{r}_{\perp 2}=(4,0,-2).
    • \hat{\mathbf{u}}_2\times\mathbf{r}_{\perp 2}=(2,\,0,\,4). (Detalhe: x=(-1)\cdot(-2)-0\cdot0=2; y=0\cdot4-0\cdot(-2)=0; z=0\cdot0-(-1)\cdot4=4.)
  • Expressão vetorial:
\mathbf{H}_2=\frac{I_2}{2\pi r_2^2}\,(\hat{\mathbf{u}}_2\times\mathbf{r}_{\perp 2}) =\frac{17}{2\pi\cdot 20}\,(2,\,0,\,4).
  • Simplificando o fator escalar:
\frac{17}{2\pi\cdot 20}=\frac{17}{40\pi}.
Multiplicando pelo vetor:
\mathbf{H}_2=\frac{17}{40\pi}\,(2,\,0,\,4)=\left(\frac{17}{20\pi},\;0,\;\frac{17}{10\pi}\right)\\ \text{A/m}.

Passo 6

Soma das contribuições e forma final (somar componente a componente):
  • Soma:
\mathbf{H}=\mathbf{H}_1+\mathbf{H}_2 =\left(0+\frac{17}{20\pi},\;\frac{15}{17\pi}+0,\;\frac{25}{17\pi}+\frac{17}{10\pi}\right).
  • Simplificando as componentes:
    • Componente x:
    H_x=\frac{17}{20\pi}.
    • Componente y:
    H_y=\frac{15}{17\pi}.
    • Componente z: colocar sobre um denominador comum 170\pi:
    H_z=\frac{25}{17\pi}+\frac{17}{10\pi}=\frac{250}{170\pi}+\frac{289}{170\pi}=\frac{539}{170\pi}.
  • Portanto, em forma vetorial exata:
\mathbf{H}=\left(\frac{17}{20\pi},\;\frac{15}{17\pi},\;\frac{539}{170\pi}\right)\\ \text{A/m}.

Passo 7

Aproximação numérica (útil para conferir e usar em cálculos práticos):
  • Usando \pi\approx 3{,}14159:
    • H_x\approx 0{,}27056\\ \text{A/m},
    • H_y\approx 0{,}28078\\ \text{A/m},
    • H_z\approx 1{,}00921\\ \text{A/m}.
  • Logo aproximadamente
\mathbf{H}\approx(0{,}2706,\;0{,}2808,\;1{,}0092)\\ \text{A/m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}=\left(\frac{17}{20\pi},\;\frac{15}{17\pi},\;\frac{539}{170\pi}\right)\\ \text{A/m}

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