(Curso de Física Básica vol. 1 - págs. 6-7, 4 ed., H. M. Nussenzveig) Estime o número de células contidas no corpo humano. (Dicas: assuma que o diâmetro de uma célula é da ordem de d=10 \mu \mathrm{~m} e que o volume médio de um corpo humano pode ser aproximado por um cilindro de raio r=0,4 \mathrm{~m} e h=1,7 \mathrm{~m} de altura. V_{\text {cilindro }}=\pi r^{2} h ; V_{\text {esfera }}=\frac{4}{3} \pi r^{3}. Resp.: \sim 10^{14} ).

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa do número de células no corpo humano. As informações fornecidas são:
  • Diâmetro médio de uma célula: d=10\\ \mu\mathrm{m}.
  • Aproximação do corpo humano por um cilindro de raio r=0,4\\ \mathrm{m} e altura h=1,7\\ \mathrm{m}.
  • Fórmulas usadas (fornecidas como dica): V_{\text{cilindro}}=\pi r^{2} h, \qquad V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Pergunta explícita: estime o número total de células no corpo humano usando os dados acima.

Passo 2

Escolha do método (passo-a-passo do que faremos):
  • Aproximar o volume total do corpo por V_{\text{corpo}}=V_{\text{cilindro}}=\pi r^{2}h.
  • Aproximar cada célula por uma esfera de diâmetro d (logo raio R=d/2) e calcular seu volume com V_{\text{cel}}=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Estimar o número de células como N=\frac{V_{\text{corpo}}}{V_{\text{cel}}}.
Essa é a abordagem mais direta e simples para uma estimativa de ordem de grandeza.

Passo 3

Calcular o volume aproximado do corpo usando a fórmula do cilindro. Explicando a fórmula:
  • Na fórmula \;V_{\text{cilindro}}=\pi r^{2} h\;, r é o raio da base do cilindro e h é a altura; \pi r^{2} é a área da base e multiplicando por h obtém-se o volume.
    Agora aplicando os valores dados:
r=0,4\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r^{2}=(0,4)^{2}=0,16\\ \mathrm{m}^{2}.
r^{2}h=0,16\times1,7=0,272\\ \mathrm{m}^{3}.
V_{\text{corpo}}=\pi\cdot0,272 \approx 3{,}1416\times0,272 \approx 0{,}8545\\ \mathrm{m}^{3}.
Portanto, o volume aproximado do corpo é \;V_{\text{corpo}}\approx 0{,}85\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Calcular o volume médio de uma célula (esfera). Explicando a fórmula:
  • Na fórmula \;V_{\text{esfera}}=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\;, R é o raio da esfera; ela dá o volume contido numa esfera de raio R.
    Converter o diâmetro para metros e obter o raio:
d=10\\ \mu\mathrm{m}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=10^{-5}\\ \mathrm{m}.
R=\frac{d}{2}=\frac{10^{-5}}{2}=5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Calcular R^{3}:
R^{3}=(5\times10^{-6})^{3}=125\times10^{-18}=1{,}25\times10^{-16}\\ \mathrm{m}^{3}.
Agora o volume da célula:
V_{\text{cel}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi\times1{,}25\times10^{-16}=\frac{5}{3}\pi\times10^{-16}.
Avaliação numérica:
\frac{5}{3}\pi \approx 1{,}6667\times3{,}1416 \approx 5{,}236,
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V_{\text{cel}}\approx 5{,}236\times10^{-16}\\ \mathrm{m}^{3}=5{,}24\times10^{-16}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Dividir o volume do corpo pelo volume de uma célula para obter o número de células. Explicando a ideia:
  • Se cada célula ocupa, em média, o volume V_{\text{cel}}, então o número máximo aproximado de células é N=V_{\text{corpo}}/V_{\text{cel}}.
    Cálculo:
N=\frac{V_{\text{corpo}}}{V_{\text{cel}}}\approx\frac{0{,}8545}{5{,}236\times10^{-16}}.
Para facilitar, escrevemos
0{,}8545\approx8{,}545\times10^{-1}, \qquad \frac{8{,}545\times10^{-1}}{5{,}236\times10^{-16}}=\frac{8{,}545}{5{,}236}\times10^{15}.
\frac{8{,}545}{5{,}236}\approx1{,}63,
portanto
N\approx1{,}63\times10^{15}.
Ou seja, a estimativa direta com os dados dados dá \;N\approx1{,}6\times10^{15} células.

Passo 6

Interpretação da estimativa e comparação com a resposta sugerida ( \sim10^{14}):
  • Estimativas assim sempre têm incerteza de ordem de magnitude porque dependem da forma geométrica escolhida e da estimativa do tamanho médio da célula.
  • Algumas razões para discrepâncias entre \sim1{,}6\times10^{15} e o valor sugerido \sim10^{14}:
    • Se, em vez de modelar a célula como esfera, usar um volume típico em bloco d^{3}=(10^{-5})^{3}=10^{-15}\\ \mathrm{m}^{3}, obtemos N\approx0{,}85/10^{-15}\approx8{,}5\times10^{14}, que é da ordem de 10^{15}.
    • O valor \sim10^{14} corresponderia a células médias maiores (por exemplo diâmetro efetivo algumas vezes maior) ou a considerar que só uma fração do volume corporal é ocupado por células contíguas (existem espaços extracelulares, vasos, ar nos pulmões, ossos densos, etc.).
    • Em estimativas de ordem de grandeza é comum aceitar um intervalo entre 10^{14} e 10^{15}. Assim, o resultado obtido aqui \sim1{,}6\times10^{15} está a um fator de 10 do valor sugerido e ainda dentro de uma faixa aceitável para uma estimativa grosseira.

Passo 7

Resumo prático (como fazer rápido na prova):
  • Converter d para metros: d=10\\ \mu\mathrm{m}=10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular V_{\text{cel}} como esfera: V_{\text{cel}}\approx5{,}2\times10^{-16}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Calcular V_{\text{corpo}}=\pi r^{2}h com r=0{,}4 e h=1{,}7 para obter \approx0{,}85\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Dividir: N\approx V_{\text{corpo}}/V_{\text{cel}}, resultado de ordem 10^{15} (ou, dependendo das suposições, entre 10^{14} e 10^{15}).
    Força aí — estimativas são como palpites bem calculados: a ordem de magnitude é o mais importante.

Resposta

N\approx1{,}6\times10^{15}

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