Calcule a força elétrica que um semi aro circular gera em uma carga pontual de carga elétrica
localizada no seu centro. Considere o raio do aro sendo
, densidade de carga elétrica constante e carga elétrica total
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a força elétrica que um semi-arco circular (semi-aro) de raio
, carga total
distribuída uniformemente ao longo do arco, exerce sobre uma carga pontual
colocada no centro do arco. Informações dadas:
- Raio do semi-aro:
. - Carga total do semi-aro:
. - Carga pontual no centro:
. - Distribuição de carga ao longo do arco é uniforme (densidade linear constante).
O que se pede: o vetor força elétricasobre a carga (módulo e direção) devido ao semi-aro.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar: Lei de Coulomb para uma carga pontual. A força elétrica exercida por uma carga elementar
localizada no vetor posição
sobre a carga
localizada em
é
onde
é a permissividade elétrica do vácuo. Aqui a carga
está no centro do arco; por isso
e
é constante para todo elemento da curva. Vou explicar cada símbolo quando usado.
Passo 3
Escolhendo sistema de coordenadas e parametrização do semi-aro. Coloco o centro do arco na origem
. Posso colocar o semi-aro no semiplano superior, isto é, os pontos do arco têm coordenadas
onde
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo até o ponto do arco. Assim o semi-aro vai de
(ponto na direita) até
(ponto na esquerda), passando pelo topo em
.
Passo 4
Expressão da densidade linear e do elemento de carga
. Como a carga total sobre o semi-aro é
e o comprimento do semi-aro é
, a densidade linear
(carga por unidade de comprimento) é
Um pequeno elemento de arco com ângulo entre
e
tem comprimento
, logo sua carga é
Observe que
não depende de
aqui porque
continha
.
Passo 5
Força elementar magnitude e direção. A distância entre o elemento
e a carga
no centro é
, então o módulo da força elementar é
Quanto à direção: a força sobre
devido a
é ao longo da reta que une as duas cargas. Como
está no centro e
está em
, o vetor força tem direção oposta a
se
e
tiverem mesmo sinal (repulsão), e na direção de
se sinais forem opostos (atração). Usaremos a forma vetorial abaixo; por enquanto decomponho em componentes.
Passo 6
Decomposição das componentes e uso da simetria. Escrevo a força elementar vetorial (usando
):
Aqui cada componente é
Pela simetria do semi-aro em relação ao eixo vertical (e pelo fato de
ser par em torno de
com sinais opostos), as contribuições em
se cancelam quando integremos
de
a
. Logo a força resultante terá apenas componente na direção
.
Passo 7
Integração da componente
. Substituo
por
na expressão de
e integro
de
a
:
Tirando constantes fora da integral:
Calculo a integral trigonométrica:
Passo 8
Substituindo o valor da integral:
Como a componente em
é zero por simetria, o vetor força resultante é
onde
é o versor positivo ao longo do eixo
(para a parametrização usada, o semi-aro está no semiplano
). O sinal negativo indica que a força aponta para o sentido
, isto é, para baixo (para o lado plano/diâmetro do semi-aro) quando
. Se
, o sinal se inverte e a força aponta para cima (em direção ao arco), como manda a atração.
Passo 9
Interpretação física e forma final. Em módulo:
Direção: ao longo do eixo de simetria (o diâmetro), do centro para o lado plano (se
) ou do centro para o arco (se
).