2 F Um recipiente hermeticamente fechado e parcialmente evacuado tem uma tampa com uma área de 77 \mathrm{~m}^{2} e massa desprezível. Se a força necessária para remover a tampa é 480 N e a pressão atmosférica é 1,0 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}, qual é a pressão do ar no interior do recipiente?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a pressão do ar no interior do recipiente. Dados fornecidos (coloquei todos os números entre delimitadores matemáticos porque é obrigatório):
  • Área da tampa: A = 77\\ \mathrm{m}^2.
  • Força necessária para remover a tampa: F = 480\\ \mathrm{N}.
  • Pressão atmosférica exterior: P_{\text{atm}} = 1,0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    A tampa tem massa desprezível e o recipiente está hermeticamente fechado (ou seja, a pressão interna age sobre a tampa por dentro). O que se quer: calcular a pressão interna P_{\text{int}}.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicando devagar como em prova):
  • Pressão é força por unidade de área. Se uma pressão P atua sobre uma área A, a força resultante normal à superfície é F = P\cdot A.
  • Aqui existem duas pressões agindo na tampa: a pressão externa \,P_{\text{atm}}\, empurra a tampa para dentro (para baixo) e a pressão interna \,P_{\text{int}}\, empurra para fora (para cima). A diferença entre essas pressões gera uma força líquida sobre a tampa.
  • Como a tampa tem massa desprezível, a força extra que precisamos aplicar para removê-la (ou seja, para levantar a tampa) é exatamente a diferença de força causada pela diferença de pressões multiplicada pela área.
    Em fórmulas: a força necessária para vencer a pressão diferencial é
F = \bigl(P_{\text{atm}} - P_{\text{int}}\bigr)\,A.
Explicando as variáveis:
  • F é a força aplicada para remover a tampa (em newtons).
  • P_{\text{atm}} é a pressão externa (em pascals).
  • P_{\text{int}} é a pressão interna que queremos achar (em pascals).
  • A é a área da tampa (em metros quadrados).

Passo 3

Isolando P_{\text{int}} na fórmula acima:
P_{\text{int}} = P_{\text{atm}} - \frac{F}{A}.
Isso vem apenas de rearranjar F = (P_{\text{atm}}-P_{\text{int}})A para resolver em função de P_{\text{int}}.

Passo 4

Agora substituo os valores numéricos dados (todos em seus SI já):
P_{\text{int}} = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} \;-\; \frac{480\\ \mathrm{N}}{77\\ \mathrm{m}^2}.
Calculo a divisão \dfrac{480}{77} passo a passo (modo que dá pra fazer sem calculadora):
  • 77\times6 = 462, resto 480-462 = 18.
  • Logo \dfrac{480}{77} = 6 + \dfrac{18}{77}.
  • \dfrac{18}{77} é aproximadamente 0,233766\ldots (porque 77\times0{,}233766\approx18).
  • Portanto \dfrac{480}{77}\approx 6{,}233766\\ \mathrm{Pa}.
    (Observação física: essa fração é em pascals porque \mathrm{N}/\mathrm{m}^2=\mathrm{Pa}.)

Passo 5

Subtraindo do valor da pressão atmosférica:
P_{\text{int}} \approx 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} - 6{,}233766\\ \mathrm{Pa} = 99\,993{,}766234\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando razoavelmente (os dados têm duas ou três algarismos significativos), podemos escrever
P_{\text{int}} \approx 9{,}9994\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}
ou, mais simplesmente,
P_{\text{int}} \approx 99\,994\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Interpretação rápida para a prova (motivação): como a área é muito grande ( 77\\ \mathrm{m}^2), uma força de apenas 480\\ \mathrm{N} corresponde a uma diferença de pressão muito pequena ( \sim 6{,}2\\ \mathrm{Pa}). Assim a pressão interna fica muito próxima da pressão atmosférica, apenas um pouco menor.

Resposta

P_{\text{int}} \approx 9{,}9994\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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