Para a curva
qual o valor da inclinação
no traço da curva em
? Dica: use a regra da cadeia e que
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas de funções paramétricas. A gente tem uma curva definida por duas funções, $ x(t) $ e $ y(t) $, e precisa encontrar a inclinação da curva, que é $ \frac{dy}{dx} $, no ponto onde $ t = \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e calcular as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções paramétricas da curva:
Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, precisamos calcular as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $. Aplicando a regra da derivação para cada termo de $ x(t) $:
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{dt} $. Aplicando a regra da derivação para cada termo de $ y(t) $:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $, podemos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ usando a regra da cadeia:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar o valor de $ \frac{dy}{dx} $ no ponto onde $ t = \frac{\pi}{4} $:
Resposta
A inclinação $ \frac{dy}{dx} $ no ponto $ t = \frac{\pi}{4} $ é igual a 1.