Para a curva
alpha(t)=(x(t), y(t))=(cos t+t sen t, sen t-t cos t)
qual o valor da inclinação d y / d x no traço da curva em t=pi / 4 ? Dica: use a regra da cadeia e que d x / d t=(d t / d x)^-1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas de funções paramétricas. A gente tem uma curva definida por duas funções, $ x(t) $ e $ y(t) $, e precisa encontrar a inclinação da curva, que é $ \frac{dy}{dx} $, no ponto onde $ t = \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e calcular as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções paramétricas da curva:
x(t) = cos t + t cdot sin t
y(t) = sin t - t cdot cos t
Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, precisamos calcular as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $. Aplicando a regra da derivação para cada termo de $ x(t) $:
dxdt
Sabemos que:
x(t)
dxdt = ddt (cos t) + ddt (t cdot sin t)
Então:
ddt (cos t) = -sin t

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{dt} $. Aplicando a regra da derivação para cada termo de $ y(t) $:
dydt
Sabemos que:
y(t)
dydt = ddt (sin t) - ddt (t cdot cos t)
Então:
ddt (sin t) = cos t

Passo 5

Agora que temos $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $, podemos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ usando a regra da cadeia:
dxdt

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o valor de $ \frac{dy}{dx} $ no ponto onde $ t = \frac{\pi}{4} $:
dydx

Resposta

A inclinação $ \frac{dy}{dx} $ no ponto $ t = \frac{\pi}{4} $ é igual a 1.

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