Encontre as curvas de nível Sc(f), c>0, da seguinte função de produção de Cobb-Douglas f(x, y)=x^1 / 3 y^2 / 3, x>0 e y>0 (usada nos Exemplos 9.6 e 9.13).

Passo 1

Estamos buscando as curvas de nível \emph{S_c}(f) da função de produção de Cobb–Douglas $f(x,y)=x{1/3}y{2/3}$, ou seja, o conjunto de pontos $(x,y)$ tal que $f(x,y)=c$, com $c>0$ e $x>0, y>0$. Essa é uma aplicação direta de nível de funções de duas variáveis.

Passo 2

Escrevemos a condição de nível:
x^1/3,y^2/3=c,
e isolamos \y\^(2/3):
y^2/3=c,x^-1/3

Passo 3

Elevamos ambos os lados à potência $3/2$ para obter \y\:
3/2
Assim chegamos à forma explícita da curva de nível.

Resposta

As curvas de nível são dadas por
$$
S_c(f)=\bigl{(x,y)>0:;y= c{3/2},x{-1/2}\bigr},\quad c>0.
$$

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