Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
.
(a) Encontre
.
(b) Encontre
.
(a) Encontre
(b) Encontre
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica com as equações
Pede duas coisas:
(a) encontrar ;
(b) encontrar .
(a) encontrar
(b) encontrar
Vou listar claramente as informações que vou usar (tirei estas expressões do enunciado):
-
. -
. - O parâmetro
varia em .
Passo 2
Derivar
em relação a
. Regra que precisamos: a derivada de
em relação a
é
. Se
depende de
, aplica-se a regra da cadeia (multiplica pela derivada de
em relação a
).
Aqui
. Usando a derivada de
com
(que tem derivada
), obtemos:
Explicando devagar: pense que
muda com
; a velocidade dessa mudança é
. Exemplo rápido: em
,
então
(a função
está decrescendo ali).
Passo 3
Derivar
em relação a
. Aqui
. Aplicamos a regra da cadeia: se
e
, então
Ou seja, a derivada de
é
. (Aparentemente tem aquele fator
extra por causa do argumento
.)
Passo 4
Agora obter
para uma curva paramétrica. Regra: quando
e
estão dados em função de
e
, então
Isto vem da regra da cadeia invertida:
. Substituindo as derivadas que já encontramos:
Esse é um resultado válido imediatamente, mas dá para simplificar usando identidades trigonométricas.
Passo 5
Simplificar
. Use a identidade trigonométrica
Substituindo na expressão:
Se
podemos cancelar
no numerador e denominador. Note que no nosso intervalo
a zero de
ocorre apenas em
e
, que são excluídos, então a cancelação é válida para todo
do intervalo aberto. Após cancelar:
Observação importante: quando
(isto é, em
) a expressão fica indefinida — isso corresponde a uma tangente vertical na curva naquele ponto. Então o resultado
vale para todos
exceto
.
Exemplo numérico para checar: tome
. Então
e
. Assim
. Pela fórmula simplificada
. Confere.