Uma curva C é definida pelas equações paramétricas x=\cos 2 t, y=\cos t, 0<t<\pi.
(a) Encontre d y / d t.
(b) Encontre d y / d x.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica com as equações
x=\cos 2t,\qquad y=\cos t,\qquad 0<t<\pi.
Pede duas coisas:
(a) encontrar \dfrac{dy}{dt};
(b) encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Vou listar claramente as informações que vou usar (tirei estas expressões do enunciado):
  • x(t)=\cos(2t).
  • y(t)=\cos(t).
  • O parâmetro t varia em (0,\pi).

Passo 2

Derivar y em relação a t. Regra que precisamos: a derivada de \cos u em relação a u é -\sin u. Se u depende de t, aplica-se a regra da cadeia (multiplica pela derivada de u em relação a t).
Aqui y(t)=\cos(t). Usando a derivada de \cos com u=t (que tem derivada 1), obtemos:
\frac{dy}{dt} = -\sin t.
Explicando devagar: pense que \cos(t) muda com t; a velocidade dessa mudança é -\sin t. Exemplo rápido: em t=\pi/2, \sin(\pi/2)=1 então \dfrac{dy}{dt}=-1 (a função y está decrescendo ali).

Passo 3

Derivar x em relação a t. Aqui x(t)=\cos(2t). Aplicamos a regra da cadeia: se x=\cos(u) e u=2t, então
\frac{dx}{dt} = -\sin(u)\cdot\frac{du}{dt} = -\sin(2t)\cdot 2 = -2\sin(2t).
Ou seja, a derivada de \cos(2t) é -2\sin(2t). (Aparentemente tem aquele fator 2 extra por causa do argumento 2t.)

Passo 4

Agora obter \dfrac{dy}{dx} para uma curva paramétrica. Regra: quando x e y estão dados em função de t e dx/dt\neq0, então
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Isto vem da regra da cadeia invertida: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}. Substituindo as derivadas que já encontramos:
\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin t}{-2\sin(2t)}=\frac{\sin t}{2\sin(2t)}.
Esse é um resultado válido imediatamente, mas dá para simplificar usando identidades trigonométricas.

Passo 5

Simplificar \dfrac{\sin t}{2\sin(2t)}. Use a identidade trigonométrica
\sin(2t)=2\sin t\cos t.
Substituindo na expressão:
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{2\cdot(2\sin t\cos t)}=\frac{\sin t}{4\sin t\cos t}.
Se \sin t\neq0 podemos cancelar \sin t no numerador e denominador. Note que no nosso intervalo 0<t<\pi a zero de \sin t ocorre apenas em t=0 e t=\pi, que são excluídos, então a cancelação é válida para todo t do intervalo aberto. Após cancelar:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4\cos t}.
Observação importante: quando \cos t=0 (isto é, em t=\tfrac{\pi}{2}) a expressão fica indefinida — isso corresponde a uma tangente vertical na curva naquele ponto. Então o resultado \dfrac{1}{4\cos t} vale para todos t\in(0,\pi) exceto t=\tfrac{\pi}{2}.
Exemplo numérico para checar: tome t=\tfrac{\pi}{3}. Então \dfrac{dy}{dt}=-\sin(\pi/3)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \dfrac{dx}{dt}=-2\sin(2\pi/3)=-2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}. Assim \dfrac{dy}{dx}=(-\tfrac{\sqrt{3}}{2})/(-\sqrt{3})=\tfrac{1}{2}. Pela fórmula simplificada \dfrac{1}{4\cos(\pi/3)}=\dfrac{1}{4\cdot\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}. Confere.

Resposta

\dfrac{dy}{dt}=-\sin t
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{4\cos t}

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