Em cada caso verifique se
é subgrupo de
:
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se
é subgrupo de
. As informações dadas são:
-
, ou seja, o grupo dos números racionais não nulos com a operação multiplicação. -
, ou seja, o conjunto dos racionais negativos.
A pergunta clara: verificar se
é (ou não é) subgrupo de
.
Passo 2
Lembrando (de forma direta e prática) o que é preciso para um subconjunto
ser subgrupo de
:
-
não pode ser vazio. -
deve conter o elemento identidade de . -
deve ser fechado pela operação do grupo: se então . - Cada elemento de
deve ter o inverso (no grupo ) também em .
Uma forma rápida de testar subgrupo é verificar que
e que para todo
temos
. Se isso falhar para algum par,
não é subgrupo.
Passo 3
Verificação simples:
não é vazio. Por exemplo,
, porque
é racional e
. Então a condição de não ser vazio está satisfeita.
Passo 4
Verificar se o elemento identidade de
está em
. O elemento identidade de
é
. Observa-se que
, logo
. Portanto
não contém a identidade do grupo
.
Explicação prática: se
fosse subgrupo, ao pegar qualquer
e multiplicar por
(que estaria em
), obteríamos a identidade
dentro de
. Como
, isso já impede
de ser subgrupo.
Passo 5
Outra verificação concreta (fechamento) que mostra o mesmo problema: o produto de dois números negativos é positivo. Por exemplo,
e
. Assim
não é fechado pela operação
. Portanto falha a condição de fechamento também.
Passo 6
Observação sobre inversos: para registro, o inverso multiplicativo de um racional negativo é também negativo (por exemplo,
), então a propriedade “fechar por inversos” seria satisfeita. Porém isso não compensa a falta da identidade nem a falta de fechamento pela operação, que já bastam para concluir.