Em cada caso verifique se A é subgrupo de G :
A=\{x \in \mathbb{Q} \mid x<0\}, G=\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right)

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se A é subgrupo de G. As informações dadas são:
  • G=\big(\mathbb{Q}^{*},\cdot\big), ou seja, o grupo dos números racionais não nulos com a operação multiplicação.
  • A=\{x\in\mathbb{Q}\mid x<0\}, ou seja, o conjunto dos racionais negativos.
A pergunta clara: verificar se A é (ou não é) subgrupo de G.

Passo 2

Lembrando (de forma direta e prática) o que é preciso para um subconjunto H\subseteq G ser subgrupo de G:
  • H não pode ser vazio.
  • H deve conter o elemento identidade de G.
  • H deve ser fechado pela operação do grupo: se a,b\in H então a\cdot b\in H.
  • Cada elemento de H deve ter o inverso (no grupo G) também em H.
Uma forma rápida de testar subgrupo é verificar que H\neq\varnothing e que para todo a,b\in H temos a\cdot b^{-1}\in H. Se isso falhar para algum par, H não é subgrupo.

Passo 3

Verificação simples: A não é vazio. Por exemplo, -1\in A, porque -1 é racional e -1<0. Então a condição de não ser vazio está satisfeita.

Passo 4

Verificar se o elemento identidade de G está em A. O elemento identidade de \big(\mathbb{Q}^{*},\cdot\big) é 1. Observa-se que 1>0, logo 1\notin A. Portanto A não contém a identidade do grupo G.
Explicação prática: se H fosse subgrupo, ao pegar qualquer h\in H e multiplicar por h^{-1} (que estaria em H), obteríamos a identidade 1 dentro de H. Como 1\notin A, isso já impede A de ser subgrupo.

Passo 5

Outra verificação concreta (fechamento) que mostra o mesmo problema: o produto de dois números negativos é positivo. Por exemplo,
(-1)\cdot(-1)=1,
e 1\notin A. Assim A não é fechado pela operação \cdot. Portanto falha a condição de fechamento também.

Passo 6

Observação sobre inversos: para registro, o inverso multiplicativo de um racional negativo é também negativo (por exemplo, ( -2)^{-1}=-\tfrac{1}{2}), então a propriedade “fechar por inversos” seria satisfeita. Porém isso não compensa a falta da identidade nem a falta de fechamento pela operação, que já bastam para concluir.

Resposta

A não é subgrupo de G.

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