Considere a equação diferencial não homogênea, com termo não homogêneo representado por
.
Caso a equação diferencial seja homogênea, a solução do Problema de Valor Inicial, para as condições iniciais
e
é:
Escolha uma opção:
a)
b) -
c)
d)
e)
Caso a equação diferencial seja homogênea, a solução do Problema de Valor Inicial, para as condições iniciais
a)
b) -
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial homogênea (já que o termo não homogêneo foi desprezado) e as condições iniciais. Informações dadas:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que o problema pede: encontrar a solução do problema de valor inicial acima (ou seja, a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais).
Passo 2
Primeiro passo para resolver uma EDO linear com coeficientes constantes: montar a equação característica. Substitui-se uma solução do tipo
na equação homogênea e obtém-se a equação para
:
Essa é a equação característica associada à EDO.
Passo 3
Resolver a equação característica. Observa-se que:
logo há uma raiz real dupla
com multiplicidade
.
Passo 4
Quando a equação característica tem uma raiz real dupla
, a forma geral da solução da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais.
Explicação curta: para uma raiz simples a solução é
; para raiz dupla
aparece também o termo
. Isso garante duas soluções linearmente independentes.
Explicação curta: para uma raiz simples
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
em
:
Portanto
Passo 6
Precisamos de
para usar
. Calcular a derivada de
passo a passo (regra do produto):
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando a regra do produto:
Esse desenvolvimento mostrou todas as parcelas: a primeira vem de derivar a parte polinomial, a segunda de derivar o exponencial.
Passo 7
Agora aplicar
. Substituindo
e
:
Logo
Passo 8
Substituir
e
na expressão geral:
Essa é a solução única do problema de valor inicial.
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular
e
usando a solução encontrada e checar que
. Já temos
. Derivando novamente e simplificando (produto + soma) obtém-se
que, ao combinar termos, satisfaz
. As contas confirmam que a solução está correta e satisfaz as condições iniciais.
Resposta
b)