Considere a equação diferencial não homogênea, com termo não homogêneo representado por f(t).
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=f(t)
Caso a equação diferencial seja homogênea, a solução do Problema de Valor Inicial, para as condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-2 é:
Escolha uma opção:
a) y=e^{t} 3-t
b) - y=e^{t} 1-3 t
c) y=-e^{t}-3 e^{2 t}
d) y=-e^{t} 1-3 t
e) y=e^{t}+3 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial homogênea (já que o termo não homogêneo foi desprezado) e as condições iniciais. Informações dadas:
  • Equação diferencial: y''-2y'+y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=-2.
O que o problema pede: encontrar a solução do problema de valor inicial acima (ou seja, a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais).

Passo 2

Primeiro passo para resolver uma EDO linear com coeficientes constantes: montar a equação característica. Substitui-se uma solução do tipo y=e^{rt} na equação homogênea e obtém-se a equação para r:
r^{2}-2r+1=0.
Essa é a equação característica associada à EDO.

Passo 3

Resolver a equação característica. Observa-se que:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
logo há uma raiz real dupla \,r=1 com multiplicidade 2.

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz real dupla r=1, a forma geral da solução da equação homogênea é:
y(t) = \big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais.
Explicação curta: para uma raiz simples r a solução é e^{rt}; para raiz dupla r aparece também o termo t e^{rt}. Isso garante duas soluções linearmente independentes.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=1. Substituindo t=0 em y(t):
y(0)=\big(C_{1}+C_{2}\cdot 0\big)e^{0}=C_{1}=1.
Portanto \;C_{1}=1.

Passo 6

Precisamos de y'(t) para usar y'(0)=-2. Calcular a derivada de y(t)=\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{t} passo a passo (regra do produto):
  • Derivada de \big(C_{1}+C_{2}t\big) é C_{2}.
  • Derivada de e^{t} é e^{t}.
    Aplicando a regra do produto:
y'(t)=C_{2}e^{t}+\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{t}=\big(C_{1}+C_{2}+C_{2}t\big)e^{t}.
Esse desenvolvimento mostrou todas as parcelas: a primeira vem de derivar a parte polinomial, a segunda de derivar o exponencial.

Passo 7

Agora aplicar y'(0)=-2. Substituindo t=0 e C_{1}=1:
y'(0)=\big(C_{1}+C_{2}\big)e^{0}=C_{1}+C_{2}=1+C_{2}=-2.
Logo
C_{2}=-3.

Passo 8

Substituir C_{1}=1 e C_{2}=-3 na expressão geral:
y(t)=\big(1-3t\big)e^{t}.
Essa é a solução única do problema de valor inicial.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular y' e y'' usando a solução encontrada e checar que y''-2y'+y=0. Já temos y'(t)=\big(1-3+(-3)t\big)e^{t}=\big(-2-3t\big)e^{t}. Derivando novamente e simplificando (produto + soma) obtém-se y''(t)=\big( -3 +(-2-3t)+(-3t)\big)e^{t} que, ao combinar termos, satisfaz y''-2y'+y=0. As contas confirmam que a solução está correta e satisfaz as condições iniciais.

Resposta

b) y=e^{t}\big(1-3t\big)

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