Uma curva C é parametrizada pela interseção do cilindro parabólico z=y^{2} com o plano x=2 y.
a) Encontre uma parametrização f(t)=(x(t), y(t), z(t)) para a curva C, usando y=t como parâmetro.
b) Determine o domínio da função vetorial encontrada.
c) Calcule a integral da função vetorial \int_{0}^{1} f(t) d t.
d) Calcule o comprimento de arco da curva C de t=0 até t=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C definida pela interseção do cilindro parabólico z=y^{2} com o plano x=2y. O que precisamos aplicar é: parametrização de curvas em \mathbb{R}^{3}, determinação de domínio, cálculo de integral de função vetorial e comprimento de arco.

Passo 2

Para parametrizar, usamos y=t. Então
y(t)=t,\qquad x(t)=2y(t)=2t,\qquad z(t)=\bigl(y(t)\bigr)^{2}=t^{2}.
Logo a parametrização é
f(t)=(x(t),y(t),z(t))=(2t,\,t,\,t^{2}).

Passo 3

O parâmetro t corresponde a y, e não há restrição na interseção dos dois objetos para nenhum valor de y. Portanto o domínio natural da parametrização é t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1}f(t)\,dt, integramos componente a componente:
\int_{0}^{1}2t\,dt =\Bigl[t^{2}\Bigr]_{0}^{1}=1,
\int_{0}^{1}t\,dt =\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac12,
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt =\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac13.
Logo
\int_{0}^{1}f(t)\,dt=\bigl(1,\;\tfrac12,\;\tfrac13\bigr).

Passo 5

O comprimento de arco de t=0 a t=1 é
L=\int_{0}^{1}\bigl\|f'(t)\bigr\|\,dt.
Temos
f'(t)=(2,\,1,\,2t), \qquad \bigl\|f'(t)\bigr\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(2t)^{2}} =\sqrt{5+4t^{2}}.
Então
L=\int_{0}^{1}\sqrt{5+4t^{2}}\,dt.
Faça a substituição u=2t, dt=\tfrac{du}{2}, obtendo
L=\tfrac12\int_{0}^{2}\sqrt{5+u^{2}}\,du =\tfrac12\Bigl[\tfrac{u}{2}\sqrt{5+u^{2}} +\tfrac{5}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{5+u^{2}}\bigr)\Bigr]_{0}^{2}.
No limite u=2 3+\tfrac{5}{2}\ln5, em u=0 \tfrac{5}{4}\ln5. A diferença é
3+\tfrac{5}{2}\ln5-\tfrac{5}{4}\ln5 =3+\tfrac{5}{4}\ln5
e multiplicando por \tfrac12 resulta
L=\tfrac{3}{2}+\tfrac{5}{8}\ln5.

Resposta

a) \displaystyle f(t)=(2t,\,t,\,t^{2}).
b) \displaystyle t\in\mathbb{R}.
c) \displaystyle \int_{0}^{1}f(t)\,dt=(1,\tfrac12,\tfrac13).
d) \displaystyle L=\tfrac{3}{2}+\tfrac{5}{8}\ln5.

Exercícios relacionados