Uma curva C é parametrizada pela interseção do cilindro parabólico z=y^{2} com o plano x=2 y.
a) Encontre uma parametrização f(t)=(x(t), y(t), z(t)) para a curva C, usando y=t como parâmetro.
b) Determine o domínio da função vetorial encontrada.
c) Calcule a integral da função vetorial \int_{0}^{1} f(t) d t.
d) Calcule o comprimento de arco da curva C de t=0 até t=1.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva C definida pela interseção do cilindro parabólico z=y^{2} com o plano x=2y. O que precisamos aplicar é: parametrização de curvas em \mathbb{R}^{3}, determinação de domínio, cálculo de integral de função vetorial e comprimento de arco.
O parâmetro t corresponde a y, e não há restrição na interseção dos dois objetos para nenhum valor de y. Portanto o domínio natural da parametrização é t\in\mathbb{R}.
Passo 4
Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1}f(t)\,dt, integramos componente a componente:
a) \displaystyle f(t)=(2t,\,t,\,t^{2}).
b) \displaystyle t\in\mathbb{R}.
c) \displaystyle \int_{0}^{1}f(t)\,dt=(1,\tfrac12,\tfrac13).
d) \displaystyle L=\tfrac{3}{2}+\tfrac{5}{8}\ln5.