Uma curva
é formada pela interseção do cilindro
com o plano
.
a) Encontre uma parametrização
para a curva
.
b) Calcule o vetor tangente
à curva.
c) Determine o versor tangente
no ponto correspondente a
.
d) Calcule a curvatura
da curva em
.
a) Encontre uma parametrização
b) Calcule o vetor tangente
c) Determine o versor tangente
d) Calcule a curvatura
Passo 1
O enunciado pede a curva
definida pela interseção do cilindro
com o plano
. Para resolver vamos:
- Usar uma parametrização trigonométrica do cilindro:
. - Obter
via . - Derivar para encontrar o vetor tangente
. - Normalizar
para achar o versor tangente e depois avaliar em . - Calcular
, usar o produto vetorial e então a fórmula da curvatura
avaliando em
.
Passo 2
Parametrizando o cilindro e impondo o plano:
Logo
Derivando componente a componente:
Passo 3
O versor tangente é
com
Em
temos
e
, logo
Passo 4
Calculamos a segunda derivada:
O produto vetorial é
com norma
. Portanto
Em
temos
, então
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)