Uma curva C é formada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=9 com o plano z=y+2.
a) Encontre uma parametrização f(t) para a curva C.
b) Calcule o vetor tangente f^{\prime}(t) à curva.
c) Determine o versor tangente T(t) no ponto correspondente a t=\pi / 2.
d) Calcule a curvatura \kappa da curva em t=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a curva C definida pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=9 com o plano z=y+2. Para resolver vamos:
  1. Usar uma parametrização trigonométrica do cilindro: (x,y)=(3\cos t,3\sin t).
  2. Obter z via z=y+2.
  3. Derivar para encontrar o vetor tangente f'(t).
  4. Normalizar f'(t) para achar o versor tangente e depois avaliar em t=\pi/2.
  5. Calcular f''(t), usar o produto vetorial f'\times f'' e então a fórmula da curvatura
\kappa(t)=\frac{\|f'(t)\times f''(t)\|}{\|f'(t)\|^{3}},
avaliando em t=\pi/2.

Passo 2

Parametrizando o cilindro e impondo o plano:
x=3\cos t,\quad y=3\sin t,\quad z=y+2=3\sin t+2.
Logo
f(t)=\bigl(3\cos t,\;3\sin t,\;3\sin t+2\bigr).
Derivando componente a componente:
f'(t)=\bigl(-3\sin t,\;3\cos t,\;3\cos t\bigr).

Passo 3

O versor tangente é
T(t)=\frac{f'(t)}{\|f'(t)\|},
com
\|f'(t)\|=\sqrt{(-3\sin t)^{2}+(3\cos t)^{2}+(3\cos t)^{2}} =\sqrt{9\sin^{2}t+9\cos^{2}t+9\cos^{2}t} =3\sqrt{1+\cos^{2}t}.
Em t=\pi/2 temos f'(\pi/2)=(-3,0,0) e \|f'(\pi/2)\|=3, logo
T\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr) =\frac{(-3,0,0)}{3}=(-1,0,0).

Passo 4

Calculamos a segunda derivada:
f''(t)=\bigl(-3\cos t,\;-3\sin t,\;-3\sin t\bigr).
O produto vetorial é
f'(t)\times f''(t) =(0,\,-9,\,9),
com norma \|f'\times f''\|=9\sqrt{2}. Portanto
\kappa(t) =\frac{9\sqrt{2}}{\bigl(3\sqrt{1+\cos^{2}t}\bigr)^{3}} =\frac{9\sqrt{2}}{27\,(1+\cos^{2}t)^{3/2}} =\frac{\sqrt{2}}{3\,(1+\cos^{2}t)^{3/2}}.
Em t=\pi/2 temos \cos(\pi/2)=0, então
\kappa\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr) =\frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

a) \displaystyle f(t)=\bigl(3\cos t,\;3\sin t,\;3\sin t+2\bigr).
b) \displaystyle f'(t)=\bigl(-3\sin t,\;3\cos t,\;3\cos t\bigr).
c) \displaystyle T\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=(-1,0,0).
d) \displaystyle \kappa\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{3}.

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