A curva característica de uma bomba, para uma determinada rotação constante, é mostrada na tabela a seguir. Ela deverá bombear água por uma tubulação de 0,1 \mathrm{~m} de diâmetro, 21 m de comprimento, fator de atrito \mathrm{f}=0,020 e altura geométrica de 3,2(\mathrm{Hg}, altura física entre o reservatório inferior e o superior). Determine qual a vazão (Q) e carga manométrica (Hman) essa bomba deve fornecer no funcionamento do sistema, além da potência exigida. Despreze qualquer perda de carga localizada e lembre-se que no funcionamento do sistema o Hman = Hi do sistema ( 2,5 pontos)
\mathbf{Q} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} \mathbf{/ s} ) \mathbf{0} \mathbf{0 , 0 0 6} \mathbf{0 , 0 1 2} \mathbf{0 , 0 1 8} \mathbf{0 , 0 2 4} \mathbf{0 , 0 3 0} \mathbf{0 , 0 3 6}
Hman (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9
\boldsymbol{\eta} (%) 0 32 74 86 85 66 28

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a vazão Q e a carga manométrica que a bomba deve fornecer no equilíbrio com o sistema (ou seja, o ponto em que a curva da bomba corta a curva do sistema), além da potência exigida pela bomba. Dados fornecidos (todos os números matemáticos abaixo estão em unidades SI):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro da tubulação: } D=0,1\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Comprimento: } L=21\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Fator de atrito (Darcy): } f=0,020\\\ &\text{Altura geométrica (diferença de nível): } H_g=3,2\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Desprezar perdas localizadas}\\\ &\text{Tabela da curva da bomba (dados do enunciado):}\\\ &\begin{array}{c|ccccccc} Q\\ (\mathrm{m^3/s}) & 0 & 0,006 & 0,012 & 0,018 & 0,024 & 0,030 & 0,036\\\ \hline H_{\text{man}}\\ (\mathrm{m}) & 22,6 & 21,9 & 20,3 & 17,7 & 14,2 & 9,7 & 3,9\\\ \hline \eta\\ (\%) & 0 & 32 & 74 & 86 & 85 & 66 & 28 \end{array} \end{aligned}
Observação: no ponto de operação vale \;H_{\text{man}} = H_{\text{sistema}}\;, onde \;H_{\text{sistema}} = H_g + h_f\; e h_f é a perda por atrito na tubulação.

Passo 2

Plano de solução (sem ainda calcular): vou obter a curva do sistema escrevendo a perda por atrito pela fórmula de Darcy–Weisbach e somando à altura geométrica. Em seguida vou encontrar o ponto de interseção entre a curva do sistema e a curva da bomba. Como a curva da bomba foi dada por pontos discretos, vou aproximar linearmente (interpolar) a curva da bomba entre os pontos mais próximos do ponto de operação provável e resolver a igualdade \;H_{\text{bomba}}(Q)=H_{\text{sistema}}(Q)\;. Finalmente calculo a potência hidráulica \;P_h=\rho g Q H\; e a potência exigida na árvore da bomba \;P_{\text{shaft}}=P_h/\eta\; usando a eficiência interpolada no ponto de operação.

Passo 3

Fórmulas que usarei (explicando cada termo):
  • Área da seção interna da tubulação:
A=\frac{\pi D^2}{4},
onde \;D\; é o diâmetro.
  • Velocidade média \;V\; e relação com a vazão:
V=\frac{Q}{A}.
  • Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach):
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},
onde \;f\; é o fator de atrito, \;L\; é o comprimento da tubulação e \;g\; é a aceleração da gravidade.
  • Substituindo V=Q/A obtemos uma expressão do tipo h_f = K Q^2, com
K = f\frac{L}{D}\frac{1}{2gA^2}.
  • Curva do sistema:
H_{\text{sistema}}(Q) = H_g + KQ^2.
  • Potência hidráulica entregue pela bomba:
P_h = \rho g Q H_{\text{man}},
onde \rho é a densidade da água (usarei \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}) e H_{\text{man}} é a carga manométrica no ponto de operação.
  • Potência exigida na árvore da bomba (considerando eficiência \eta):
P_{\text{shaft}}=\frac{P_h}{\eta}.

Passo 4

Calculo da área e do coeficiente K passo a passo.
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0,1)^2}{4}=\pi\cdot 0,0025=0,0078539816\\ \mathrm{m^2}.
A^2=(0,0078539816)^2=6,16850275\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^4}.
Agora
K = f\frac{L}{D}\frac{1}{2gA^2} = 0,020\cdot\frac{21}{0,1}\cdot\frac{1}{2\cdot 9,81\cdot 6{,}16850275\times10^{-5}}.
Calculo intermédio:
0,020\cdot\frac{21}{0,1}=4{,}2,
2gA^2 = 2\cdot 9{,}81\cdot 6{,}16850275\times10^{-5}=1{,}21024425\times10^{-3}.
Logo
K=\frac{4{,}2}{1{,}21024425\times10^{-3}}=3470{,}30\\ \text{(aprox.)}.

Passo 5

Escrevo a curva do sistema:
H_{\text{sistema}}(Q)=H_g + KQ^2 = 3{,}2 + 3470{,}30\;Q^2.
(Isto dá H_{\text{sistema}} em metros quando Q está em \mathrm{m^3/s}.)

Passo 6

Formulo uma expressão linear para a curva da bomba entre os dois pontos mais próximos do cruzamento esperado. Observando a tabela, a interseção ocorre entre Q=0,030 e Q=0,036 (porque em Q=0,030 a bomba dá H=9{,}7\\ \mathrm{m} e o sistema dá menos; em Q=0,036 a bomba dá H=3{,}9\\ \mathrm{m} e o sistema dá mais — então o cruzamento está entre eles). Faço interpolação linear entre esses pontos:
\text{slope} = \frac{3{,}9-9{,}7}{0{,}036-0{,}030}=\frac{-5{,}8}{0{,}006}=-966{,}666\ldots
Portanto, para Q entre 0{,}030 e 0{,}036,
H_{\text{bomba}}(Q)=9{,}7 + (-966{,}666\ldots)(Q-0{,}030).
Posso reescrever:
H_{\text{bomba}}(Q)=38{,}7 -966{,}666\ldots\;Q.
(Verificação rápida: em Q=0{,}030 9{,}7; em Q=0{,}036 3{,}9.)

Passo 7

A condição de equilíbrio é \;H_{\text{bomba}}(Q)=H_{\text{sistema}}(Q)\;. Substituo as expressões:
38{,}7 -966{,}666\ldots\;Q = 3{,}2 + 3470{,}30\;Q^2.
Rearranjando para formar uma quadrática:
3470{,}30\;Q^2 + 966{,}666\ldots\;Q -35{,}5 = 0.
Uso a fórmula de Bhaskara:
Q=\frac{-966{,}666\ldots \pm \sqrt{(966{,}666\ldots)^2 -4\cdot 3470{,}30\cdot(-35{,}5)}}{2\cdot 3470{,}30}.
Calculo do discriminante (aprox.):
\Delta \approx 1{,}427{,}227{,}6\quad\Rightarrow\quad \sqrt{\Delta}\approx 1194{,}662.
Escolhendo a raiz positiva (a outra é física negativa),
Q \approx \frac{-966{,}6667 + 1194{,}662}{6940{,}60} \approx 0{,}032863\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 8

Calculo da carga manométrica no ponto de operação (uso a curva do sistema — ambos coincidem):
H_{\text{man}} = H_{\text{sistema}}(0{,}032863)=3{,}2 + 3470{,}30\cdot(0{,}032863)^2.
Primeiro (0{,}032863)^2\approx 0{,}0010799. Então
H_{\text{man}}\approx 3{,}2 + 3470{,}30\cdot 0{,}0010799 \approx 6{,}93\\ \mathrm{m}.
Verificação com a curva da bomba interpolada dá valor muito próximo (coerente).

Passo 9

Interpolação da eficiência no ponto de operação. Entre Q=0{,}030 ( \eta=66\%) e Q=0{,}036 ( \eta=28\%):
\text{slope}_\eta = \frac{28-66}{0{,}036-0{,}030} = -6333{,}33\\ \%/\mathrm{(m^3/s)}.
A diferença de Q em relação a 0{,}030 é 0{,}002863. Então
\eta \approx 66\% + (-6333{,}33)\times 0{,}002863 \approx 47{,}87\%\approx 0{,}4787.

Passo 10

Cálculo da potência hidráulica e da potência exigida:
P_h = \rho g Q H_{\text{man}} = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}032863\cdot 6{,}93.
Faço em duas etapas: QH \approx 0{,}032863\times 6{,}93 \approx 0{,}22784\\ \mathrm{m^4/s} (produto vazão×carga), e então
P_h \approx 9810\cdot 0{,}22784 \approx 2235\\ \mathrm{W}.
Potência na árvore (considerando \eta\approx 0{,}4787):
P_{\text{shaft}}=\frac{P_h}{\eta}\approx \frac{2235}{0{,}4787}\approx 4667\\ \mathrm{W}\approx 4{,}67\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Q=0,03286\\ \mathrm{m^3/s}
H_{\text{man}}=6,93\\ \mathrm{m}
P_{\text{exigida}}=4,67\\ \mathrm{kW}

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