A curva característica de uma bomba, para uma determinada rotação constante, é mostrada na tabela a seguir. Ela deverá bombear água por uma tubulação de
de diâmetro, 21 m de comprimento, fator de atrito
e altura geométrica de
, altura física entre o reservatório inferior e o superior). Determine qual a vazão (Q) e carga manométrica (Hman) essa bomba deve fornecer no funcionamento do sistema, além da potência exigida. Despreze qualquer perda de carga localizada e lembre-se que no funcionamento do sistema o Hman
Hi do sistema ( 2,5 pontos)
)
Hman (m)
22,6
21,9
20,3
17,7
14,2
9,7
3,9
(%)
0
32
74
86
85
66
28
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| Hman (m) | 22,6 | 21,9 | 20,3 | 17,7 | 14,2 | 9,7 | 3,9 |
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0 | 32 | 74 | 86 | 85 | 66 | 28 |
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a vazão
Q
e a carga manométrica que a bomba deve fornecer no equilíbrio com o sistema (ou seja, o ponto em que a curva da bomba corta a curva do sistema), além da potência exigida pela bomba. Dados fornecidos (todos os números matemáticos abaixo estão em unidades SI):
Observação: no ponto de operação vale
, onde
e
é a perda por atrito na tubulação.
Passo 2
Plano de solução (sem ainda calcular): vou obter a curva do sistema escrevendo a perda por atrito pela fórmula de Darcy–Weisbach e somando à altura geométrica. Em seguida vou encontrar o ponto de interseção entre a curva do sistema e a curva da bomba. Como a curva da bomba foi dada por pontos discretos, vou aproximar linearmente (interpolar) a curva da bomba entre os pontos mais próximos do ponto de operação provável e resolver a igualdade
. Finalmente calculo a potência hidráulica
e a potência exigida na árvore da bomba
usando a eficiência interpolada no ponto de operação.
Passo 3
Fórmulas que usarei (explicando cada termo):
- Área da seção interna da tubulação:
onde
é o diâmetro.
- Velocidade média
e relação com a vazão:
- Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach):
onde
é o fator de atrito,
é o comprimento da tubulação e
é a aceleração da gravidade.
- Substituindo
obtemos uma expressão do tipo , com
- Curva do sistema:
- Potência hidráulica entregue pela bomba:
onde
é a densidade da água (usarei
) e
é a carga manométrica no ponto de operação.
- Potência exigida na árvore da bomba (considerando eficiência
):
Passo 4
Calculo da área e do coeficiente
passo a passo.
Agora
Calculo intermédio:
Logo
Passo 5
Escrevo a curva do sistema:
(Isto dá
em metros quando
está em
.)
Passo 6
Formulo uma expressão linear para a curva da bomba entre os dois pontos mais próximos do cruzamento esperado. Observando a tabela, a interseção ocorre entre
e
(porque em
a bomba dá
e o sistema dá menos; em
a bomba dá
e o sistema dá mais — então o cruzamento está entre eles). Faço interpolação linear entre esses pontos:
Portanto, para
entre
e
,
Posso reescrever:
(Verificação rápida: em
dá
; em
dá
.)
Passo 7
A condição de equilíbrio é
. Substituo as expressões:
Rearranjando para formar uma quadrática:
Uso a fórmula de Bhaskara:
Calculo do discriminante (aprox.):
Escolhendo a raiz positiva (a outra é física negativa),
Passo 8
Calculo da carga manométrica no ponto de operação (uso a curva do sistema — ambos coincidem):
Primeiro
. Então
Verificação com a curva da bomba interpolada dá valor muito próximo (coerente).
Passo 9
Interpolação da eficiência no ponto de operação. Entre
(
) e
(
):
A diferença de
em relação a
é
. Então
Passo 10
Cálculo da potência hidráulica e da potência exigida:
Faço em duas etapas:
(produto vazão×carga), e então
Potência na árvore (considerando
):