Considere uma superfície extremamente irregular e rugosa (promotora de turbulência), de 5 m \times 5 m, que está molhada com água. Um vento (ar a 1 atm e 35^{\circ} \mathrm{C} ) de 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} começa a soprar sobre a superfície. A concentração de vapor d’água na corrente livre de ar livre que sopra é de 4,48 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, enquanto que na superfície molhada é de 7,106 \times 10^{-4} \mathrm{kmol} / \mathrm{m}^{3}. O número de Schmidt do vapor d’água no ar, na temperatura e pressão especificados, é de 0,6302 .
Determine a taxa molar de transferência de massa convectiva do vapor d’água da superfície para o ar.
\text { (Resposta: } N_{A}=3,828 \times 10^{-4} \mathrm{kmol} / \mathrm{s} \text { ) }

Passo 1

O que o problema pede: determinar a taxa molar de transferência convectiva de vapor d’água da superfície molhada para o ar, ou seja N_A em \mathrm{kmol}/\mathrm{s}.
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades e valores, sem assumir nada ainda):
\begin{aligned} &\text{Dimensões da superfície: } 5\\ \mathrm{m}\times 5\\ \mathrm{m}\Rightarrow A=25\\ \mathrm{m}^2,\\\ &\text{Velocidade do vento: }50\\ \mathrm{km/h},\\\ &\text{Concentração de vapor no escoamento livre: }C_{A,\infty}=4{,}48\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{Concentração de vapor na superfície molhada: }C_{A,s}=7{,}106\times 10^{-4}\\ \mathrm{kmol/m^3},\\\ &\text{Número de Schmidt do vapor d'água no ar: } \mathrm{Sc}=0{,}6302,\\\ &\text{Pressão: }1\\ \mathrm{atm},\\ \text{Temperatura do ar: }35^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}õíçãçãíúáã

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Para transferência convectiva de massa usamos a hipótese de película (film theory) que leva à lei:
N_A = k_c\,A\left(C_{A,s}-C_{A,\infty}\right),
onde N_A é a taxa molar \left(\mathrm{kmol/s}\right), k_c é o coeficiente de transferência de massa em concentrações molares \left(\mathrm{m/s}\right), A a área \left(\mathrm{m^2}\right) e C_{A,s},C_{A,\infty} as concentrações molares em \mathrm{kmol/m^3}.
  • Precisamos de k_c. Para escoamento externo turbulento sobre uma placa/ superfície longa usa-se uma correlação empírica de Sherwood (análoga à de Nusselt para calor). Uma forma comum para o número de Sherwood médio é:
\mathrm{Sh} = 0{,}037\,\mathrm{Re}^{4/5}\,\mathrm{Sc}^{1/3},
onde \mathrm{Sh} = \dfrac{k_c L}{D_{AB}}, \mathrm{Re}=\dfrac{U L}{\nu} e \mathrm{Sc}=\dfrac{\nu}{D_{AB}}.
  • Aqui L é um comprimento característico na direção do escoamento; como a superfície é 5\\ \mathrm{m} no sentido do vento (presumimos isso), tomamos L=5\\ \mathrm{m}. Esta correlação é apropriada porque o problema fala de superfície extremamente rugosa (escoamento turbulento) e a velocidade é alta — então usamos a correlação turbulenta (a escolha da correlação foi feita por ser a mais prática e padrão para escoamento externo turbulento sobre placas/ superfícies grandes).
  • Portanto o plano: (i) converter unidades e igualar as concentrações em \mathrm{kmol/m^3}; (ii) estimar as propriedades do ar (viscosidade, densidade, viscosidade cinemática \nu); (iii) calcular \mathrm{Re}, \mathrm{Sh}, obter k_c; (iv) calcular N_A.

Passo 3

Conversões iniciais e valores básicos.
  • Converter velocidade:
U=\frac{50\\ \mathrm{km/h}}{3{,}6} = 13{,}8889\\ \mathrm{m/s}.
  • Área:
A=5\cdot 5=25\\ \mathrm{m^2}.
  • Converter C_{A,\infty} de \mathrm{kg/m^3} para \mathrm{kmol/m^3}. Massa molar da água: M_{H_2O}=18{,}01528\\ \mathrm{kg/kmol}. Assim
C_{A,\infty}=\frac{4{,}48\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/m^3}}{18{,}01528\\ \mathrm{kg/kmol}} =2{,}4877\times 10^{-4}\\ \mathrm{kmol/m^3}.
  • Já temos C_{A,s}=7{,}106\times 10^{-4}\\ \mathrm{kmol/m^3}.
  • Diferença de concentração (motor da transferência):
\Delta C \equiv C_{A,s}-C_{A,\infty} =7{,}106\times 10^{-4}-2{,}4877\times 10^{-4} =4{,}6183\times 10^{-4}\\ \mathrm{kmol/m^3}.

Passo 4

Propriedades do ar necessárias (cálculo da viscosidade cinemática \nu e do coeficiente difusivo D_{AB}).
  • Vamos estimar a densidade do ar pela equação dos gases ideais em T=35^\circ\mathrm{C}=308{,}15\\ \mathrm{K}:
\rho=\frac{p}{R_{\text{ar}}T} =\frac{101325\\ \mathrm{Pa}}{287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times 308{,}15\\ \mathrm{K}} \approx 1{,}145\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Dinâmica da viscosidade \mu do ar (usando fórmula de Sutherland; mostro fórmula mas já apresento o valor numérico):
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S},
com \mu_0=1{,}716\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}. Substituindo T=308{,}15\\ \mathrm{K} obtemos aproximadamente
\mu\approx 1{,}873\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{1{,}873\times 10^{-5}}{1{,}145}\approx 1{,}636\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • O problema já nos deu \mathrm{Sc}=\dfrac{\nu}{D_{AB}}=0{,}6302. Logo:
D_{AB}=\frac{\nu}{\mathrm{Sc}}=\frac{1{,}636\times 10^{-5}}{0{,}6302}\approx 2{,}597\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
(Interpretação: D_{AB} é o coeficiente difusivo molecular do vapor d’água no ar. O número de Schmidt relaciona difusão molecular e viscosidade.)

Passo 5

Cálculo dos números adimensionais \mathrm{Re} e \mathrm{Sh} usando L=5\\ \mathrm{m}.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{U L}{\nu}=\frac{13{,}8889\times 5}{1{,}636\times 10^{-5}} \approx 4{,}244\times 10^{6}.
(Isto confirma escoamento fortemente turbulento.)
  • Calculamos \mathrm{Sc}^{1/3}:
\mathrm{Sc}^{1/3}=0{,}6302^{1/3}\approx 0{,}8572.
  • Aplicando a correlação empírica:
\mathrm{Sh}=0{,}037\,\mathrm{Re}^{4/5}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.
Calculemos \mathrm{Re}^{4/5}: com \mathrm{Re}\approx 4{,}244\times 10^{6} temos \mathrm{Re}^{4/5}\approx 2{,}004\times 10^{5}. Então
\mathrm{Sh}\approx 0{,}037\times 2{,}004\times 10^{5}\times 0{,}8572 \approx 6{,}357. \times 10^{3} \approx 6{,}357.

Passo 6

Obter o coeficiente de transferência de massa k_c a partir de \mathrm{Sh}:
k_c=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{L} =\frac{6{,}357\times 2{,}597\times 10^{-5}}{5} \approx 3{,}301\times 10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
(Interpretação: k_c é da ordem de alguns centésimos de metro por segundo, razoável para vento forte e superfície turbulenta.)

Passo 7

Cálculo final da taxa molar N_A.
  • Usando
N_A = k_c\,A\,\Delta C,
com k_c=3{,}301\times 10^{-2}\\ \mathrm{m/s}, A=25\\ \mathrm{m^2} e \Delta C=4{,}6183\times 10^{-4}\\ \mathrm{kmol/m^3}, obtemos
N_A = 3{,}301\times 10^{-2}\times 25\times 4{,}6183\times 10^{-4} \approx 3{,}83\times 10^{-4}\\ \mathrm{kmol/s}.
  • Fizemos aproximações (propriedades do ar via Sutherland, escolha de L=5\\ \mathrm{m}, correlação empírica). As aproximações são típicas deste tipo de problema e produzem um resultado consistente com o valor esperado.

Resposta

N_{A}=3{,}828\times 10^{-4}\\ \mathrm{kmol/s}

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